Оптимальные стратегии для игроков. Решение графических игр заданными платежными матрицами

Решение.1.Посмотрим геометрическое изображение данной игры на рис. 19. Нижняя огибающая отрезков а_1ja_2j, j = 1, 2, 3, 4 выделяется жирной линией. Ее  максимальная точка N. Видно, что через точку N проходят три отрезка а₁₂а₂₂, а₁₁а₂₁ и а₁₄а₂₄.Для определения абсциссы Р⁰ точки N мы можем взять любые два отрезка из указанных трех. Возьмем, например, отрезки а₁₂а₂₂ и а₁₄а₂₄. Тогда при j₁ = 2 и  j₂ = 4 получим:

Тогда .

Находим цену игры по формуле

.

Нетрудно убедиться в том, что мы получим тот же результат, если для вычисления Р⁰ и `g используем отрезки а₁₂а₂₂ и а₁₁а₂₁ или а₁₁а₂₄ и а₁₄а₂₄. Верхней точкой из двух нижних а₁₂ = 2 и а₂₃ = –2 на перпендикулярах является точка а₁₂ = 2; поэтому нижняя цена игры в чистых стратегиях  a = а₁₂ = 1.

Нижней точкой среди верхних концов а₁₃ = 7, а₁₁ = 4, а₂₄ = 3,5, а₂₂ = 6 соответственно отрезков а₁₃а₂₃, а₁₁а₂₁, а₁₄а₂₄, а₁₂а₂₂ является точка а₂₄ = 3,5;

поэтому верхняя цена игры в  чистых стратегиях b = а₂₄ = 3,5.

Таким образом, a = 2 <`g = 3,14 < b = 3,5. Седловой точки в игре нет.

Рис. 19

На рис. 19 через максимальную точку N нижней огибающей отрезков а_1ja_2j, j = 1, 2, 3, 4 проходят три отрезка: а₁₂а₂₂ и а₁₄а₂₄ положительных наклонов и а₁₁а₂₁ отрицательного наклона. Определим оптимальную стратегию игрока В, используя сначала пару отрезков а₁₂а₂₂ и а₁₁а₂₁ разных наклонов, при j₁ = 2 и j₂ = 1 находим  по формуле

,

Тогда .

Таким образом, одной из оптимальных стратегий игрока В будет смешанная стратегия , в которой он чистую стратегию В₁ выбирает с вероятностью , стратегию В₂ – с вероятностью , а стратегии В3 и В4 являются пассивными. Теперь найдем оптимальную стратегию, используя отрезки а₁₄а₂₄ и а₁₁а₂₁. При j₁ = 4 и j₂ = 1 находим  по формуле ,

Тогда .

Таким образом, другой оптимальной стратегией игрока В является смешанная стратегия ,

2. Посмотрим геометрическое изображение данной игры на рис. 20.

Рис. 20