Математика \ Математическое программирование

Оптимальные стратегии для игроков. Решение графических игр заданными платежными матрицами, страница 3

Решение. На рис. 24 элементы а₂₁ = а₂₃ являются седловыми точками.

Рис. 24

Оптимальные стратегии: А₂ – для игрока А, В₁, В₃ – для игрока В.

Цена игры g = 4.

Рис. 25

На рис. 25 элементы а₂₁ = а₂₃ являются седловыми точками.

Оптимальные стратегии: А₂ – для игрока А, В₁, В₃ – для игрока В.

Цена игры g =4.

Рис. 26

На рис. 26 элементы а₂₁ = а₂₃ являются седловыми точками.

Рис. 27

Оптимальные стратегии: А₂ – для игрока А, В₁, В₃ – для игрока В. Цена игры g = 3.

На рис. 27 элементы а₁₁ = а₁₃ являются седловыми точками.

Оптимальные стратегии: А₁ – для игрока А, В₁, В₃ – для игрока В.

Цена игры g = 3.

Рис. 28

На рис. 28 элементы а₁₁ = а₁₃ являются седловыми точками.

Оптимальные стратегии: А₁ – для игрока А, В₁, В₃ – для игрока В.

Цена игры g = 4.

Рис. 29

На рис. 29 элементы а₁₁ = а₁₃ являются седловыми точками.

Оптимальные стратегии: А₁ – для игрока А, В₁, В₃ – для игрока В.

Цена игры g = 2.

Рис. 30

На рис. 30 элементы а₁₁ = а₁₃ = а₂₁ = а₂₃ являются седловыми точками. Оптимальные стратегии: А₁, А₂ – для игрока А, В₁, В₃ – для игрока В. Цена игры g = 1.

Пример 23. Решить графически игры заданными платежными матрицами

1 2 3 4

Решение. На рис. 31 отрезок а₁₁а₂₁ имеет положительный наклон и точка N лежит на правом перпендикуляре. В этом случае элемент

Рис. 31

a₂₁ = 2 является седловой точкой. Стратегия В₁ является оптимальной.

Рис. 32

На рис. 32 отрезок а₁₁а₂₁ имеет отрицательный наклон, точка N лежит на левом перпендикуляре. Элемент a₁₁ = 2 является седловой точкой. Стратегия В₁ является оптимальной.

На рис. 33 каждая точка отрезка а₁₁а₂₁ является максимальной, элементы а₁₁ = a₂₁ являются седловыми точками.

Стратегия В₁ является оптимальной.

Рис. 33

11.11. Решение игры m´2

Алгоритм геометрического нахождения оптимальных стратегий игрока В и цены игры `g:

1. Берем горизонтальный отрезок [0, 1].

2. Через концы отрезка [0, 1] проводим к нему два перпендикуляра: левый и правый.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком

[0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы первого столбца матрицы А.

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0, 1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второго столбца матрицы А.

5. Каждую пару точек, изображающих элементы а_i1 и a_i₂, i = 1, 2, …, m, стоящие в i-й строке матрицы А, соединяем отрезком а_i1a_i₂, в результате чего построим m отрезков, представляющих собой графики m линейных функций

6. Если все отрезки а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m имеют неотрицательный наклон, т.е. положительный или нулевой (другими словами, все отрезки

а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m), то стратегия В₁ доминирует стратегию В₂, т.е. а₁₂ ³ а₁₁, а₂₂ ³ а₂₁, …, а_m2 ³ а_m1.

Если все отрезки а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m имеют положительный наклон, т.е. являются возрастающими: а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m, то стратегия В₁ строго доминирует стратегию В₂, т.е. а₁₂ > а₁₁, а₂₂ > а₂₁, …, а_m2 > а_m1.

7. Если все отрезки а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m имеют неположительный наклон, т.е. отрицательный или нулевой (другими словами, все отрезки а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m невозрастающие: а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m), то стратегия В₂ доминирует стратегию В₁, т.е. а₁₁³ а₁₂, а₂₁³ а₂₂, …, а_m1 ³ а_m2.

Если все отрезки а_i1a_i₂, i = 1, 2, …, m имеют отрицательный наклон, т.е. являются убывающими: а_i1a_i₂¯, i = 1, 2, …, m, то стратегия В₂ строго доминирует стратегию В₁, т.е. а₁₁> а₁₂, а₂₁> а₂₂, …, а_m1 > а_m2.