Простейшие приёмные антенны. Штыревая антенна радиоприемника (комнатная антенна), страница 5

ЗАДАЧА 15.35. Магнитный излучатель (рамочная антенна) представля-ет собой круглый виток тонкого провода радиусом  а = 2 см,  расположенный в воздухе. Вдоль витка протекает синусоидальный ток  i = 2sin(ωt+ 60°) A  частоты   f = 2∙10⁸ Гц.   Виток расположен в экваториальной плоскости сферической системы координат, его центр лежит в начале координат.

Определить комплексы векторов напряженностей электрического и магнитного полей в точке  М(10 м; 30°; 90°).

Решение

Представим картинку расположения витка рамочной антенны и точки наблюдения М на рис. 15.27, где R– расстояние от центра антенны до точки наблюдения, r – расстояние от произвольно-го элемента тока  I  до точки наблюдения. Координаты элемента тока  N(а; ½p; a), координаты точки наблюдения М(R; q; 0) – точку наблюдения мы расположили в плоскости z0y, за начало отсчета координаты  a принято направление оси y.

Рассчитаем векторный электродинамический потенциал рамочной антенны для точки наблюдения:

==.

Произвольный элемент тока I=Iada определяет элементарное слагаемое векторного потенциала

d =a·cosada ·, имеющее только одно направление – вдоль координаты a принятой сферической системы координат. Эту же проекцию имеет и результирующий вектор  =A,   и эта проекция

A =.

Предположим, что точка наблюдения М, для которой определяется векторный электродинамический потенциал, находится на очень большом расстоянии от антенны так, что  a << R.   В этом случае для знаменателя можно принять  r = R.  Однако для показателя экспоненты отличие r от  Rможет привести к заметной ошибке по фазе волны.

В рассматриваемом случае

r» R – a·cosg = R – a·sinqcosa,5)         » .

Заметим, что  =,  тогда  a =а,что при соотношении >>aприводит к  а << 1  и при разложении экспоненты в ряд достаточно учесть два первых члена разложения   » 1 + ja·sinqcosa

и векторный потенциал  A =.

Так как   = 0, а  == p, то оконча-тельное выражение для векторного потенциала приобретает вид

A =.

Учтем, что произведение тока  I  на площадь πа²,охваченную контуром с током есть магнитный момент контура   m = IS= Iπа².

Тогда формулу для расчета векторного потенциала можно представить в векторной форме      =.

Вектор напряженности магнитного поля вычислим с помощью соотношения    =rot.

В сферической системе координат с учетом   =A   и   A = f(R, q)

rot==

=–=´

´=

=.

Таким образом, вектор напряженности магнитного поля имеет две проекции:

H_R == j,                                 (1)

H_q == -.                          (2)

Вектор напряженности электрического поля вычислим с помощью соотношения:    =rot,  где

rot==

=.

Таким образом,

=  –  вектор напряженности электрического поля имеет одну проекцию в сферической системе координат. Последнему выражению можно придать другую редакцию:

E = E_a =Z_C ,       где  Z_C =.              (3)

Для дальней зоны излучателя получаем:  H_R = 0,

H = H_q = -,   E = E_a =Z_C , а отношение = Z_C  (знак «минус» в выражении для H соответствует принципу излучения).

Для рассматриваемой задачи

λ ===1,5 м;    I == 2e ^j60° A;   S= pa² = p ·(2·10 ^-2)² =12,56·10 ^-4 м².

Начало отсчета координаты a совместим с положительным направле-нием оси x декартовой системы координат. Для точки  М(10 м; 30°; 90°) получаем в соответствии с (1)-(2):

H_R = je ^j120° = 14,5·10 ^-6e ^–j90° A/м, где   R =·10 = 2p ·6,67 = 41,9 рад,e ^{–j41,9рад} = e ^+j120°;

H_q = -e ^j120° = 1,754·10 ^-4 A/м.

По модулю  H== 1,76·10 ^-4 A/м, что практически соответ-ствует дальней зоне излучения.

При расчёте напряжённости электрического поля

==0,00114, что также соответствует дальней зоне излучения.

Тогда     E = E_a = Z_C(-H_q ) = 377·(-1,754·10 ^-4) = -0,0651 В/м.      

Задача 15.36. Вывести формулы для расчета мощности излучения Р и сопротивления излучения rрамочной антенны. Вычислить Р и rдля условий задачи 15.35.

Решение