Методические указания к лабораторным работам по курсу “Компьютерная графика”, страница 2

Отсюда вытекает, что если из -мерного куба последовательно удалять открытые подмножества, то в результате получится множество, равное пределу аппроксимирующих его множеств относительно метрики Хаусдорфа.

2. Размерность Хаусдорфа и топологическая размерность

Б. Мандельброт ввел следующее определение фрактала. Каждому подмножеству -мерного евклидова пространства ставятся в соответствие два числа – топологическая размерность  и размерность Хаусдорфа-Безиковича . Топологическая размерность всегда целое число. В общем случае имеет место . Подмножество называется фракталом или фрактальным множеством, если имеет место строгое неравенство . Цель данного параграфа – дать опрделение размерностей  и .

Перегородки и топологическая размерность. Пусть  - метрическое пространство. Каждое его подмножество  является метрическим пространством относительно метрики . Замкнутое подмножество  называется перегородкой в , если  для некоторых непустых непересекающихся открытых подмножеств . Если при этом  и , то  называется перегородкой между  и . На рис. 1 перегородка изображена в виде замкнутого прямоугольника,  является большим замкнутым прямоугольником, разбитым на прямоугольники ,  и  (подмножества  и  не содержат общих с множеством  граничных точек).

Введем определение большой индуктивной размерности. Она, по теореме Катетова, для метрических пространств совпадает с размерностью Лебега и будет называться далее топологической размерностью. Положим . При непустом  полагаем , если между любыми двумя непересающимися замкнутыми подмножествами  и  из  найдется перегородка , для которой  Если таких  нет, то полагаем

Пример 4. Множество Кантора. Рассмотрим отрезок числовой прямой, состоящий из чисел , удовлетворяющих условиям . Удалим среднюю часть отрезка, состоящую из чисел , для которых  (рис. 2.). Затем эту процедуру применим к каждому из двух оставшихся отрезков.

Затем удалим среднюю часть из каждого из оставшихся множеств и т.д. Полученное в пределе множество называется множеством Кантора С. Точки множества Кантора можно описать также как числа, запись которых в троичной системе счисления  состоит из цифр  равных нулю или двум.

Такие числа можно записать как суммы рядов  где  Можно доказать, что

Рассмотрим декартово произведение множества Кантора на себя,  Оно состоит из точек плоскости  таких, что  и . Из общего неравенства  вытекает, что

Размерность Хаусдорфа-Безиковича. Пусть  - метрическое пространство, -подмножество,  - положительное действительное число. Семейство  подмножеств называется -покрытием, если  для всех , и  Для произвольного числа  определим число , где нижняя грань  берется по всем -покрытиям множества , у которых множество  счетно. Положим  Размерность Хаусдорфа-Безиковича, или фрактальная размерность, определяется как верхняя грань чисел , для которых  и она будет равна нижней грани чисел , удовлетворяющих равенству

Пример 5. Вычислим размерность множества Кантора С. При  и  будет верно равенство

Следовательно,  Этот предел при  будет равен нулю, а в случае  - бесконечен. Следовательно  равен числу , удовлетсворяющему равенству  Получаем  Поскольку  то  Отсюда вытекает, что множество Кантора является фракталом. Аналогично можно вычислить размерность .

Полагая  при  получаем  для некоторого коэффициента  Следовательно, для  получаем  Следовательно,

На рис 3. изображено построение множества Кантора . Из единичного квадрата удаляется крест. Затем этот процесс применяется рекурсивно к каждому из оставшихся квадратов.

Черные квадраты состоят из точек, оставшихся после трех шагов построения множества Кантора . Хорошо известно, что между метрическими пространствами  и  можно установить гомеоформизм. Поскольку  и  то можно сделать вывод, что гомеоморфные геометрические фигуры могут иметь различные размерности Хаусдорфа-Безиковича, следовательно, эта размерность не является топологическим инвариантом.