Разложение импульса.Разложение ЭДС.Использование регуляризации, страница 9

Пусть теперь нужно построить сглаживающий сплайн в произвольной области, которая не может рассматриваться как один интервал сглаживания. Разобьем исходную область несколько подинтервалов: . На каждом подинтервале используются отдельные базисные функции, отличные от нуля только на этом отрезке. Далее поступаем так: для каждой i-ой точки определяем какому интервалу (включая границы) она принадлежит, вычисляем локальную матрицу (5.3), используя базисные функции, соответствующие найденному интервалу, заносим локальную матрицу в соответствующую позицию глобальной матрицы (соответствие определяется по принадлежности точки интервалу). Глобальная матрица будет симметричной и имеет ленточную структуру, ширина ленты равна четырем, решаем методом Холецкого.

Как уже отмечалось выше, функция  очень быстро убывает на ранних временах и достаточно медленно на поздних, то есть имеет сильно меняющуюся производную. Это плохо сказывается на качестве сглаживающего сплайна, поэтому целесообразно перейти в логарифмические координаты, в которых  изменяется уже достаточно плавно, и провести сглаживание в новых координатах. После того, как построили сплайн делается обратный переход. Так как в нашем случае и время, и ЭДС - неотрицательные величины, то для перехода в логарифмическую шкалу, достаточно сделать преобразования . Если среди  или  имеются нулевые значения, то вместо нулей берутся некоторое малые числа  и , которые в нашем случае можно выбрать например так:

.

При таком выборе исключается ситуация, когда два различных значения исходной кривой отобразятся в одно значение новой кривой. Обратный переход делается аналогично, только вместо логарифмирования выполняем потенцирование (естественно с учетом того, что  и  должны снова стать нулями).

5.4.  Практические результаты

Посмотрим, на практические результаты восстановления ЭДС для импульса-ступеньки с использованием регуляризации.

Исходная ЭДС — ЭДС для полусинуса, вычисленная в пакете TELMA и зашумленная (шум 5%, высокочастотный), разрешено возрастание на 5%, в подинтервалы сглаживания включаются точки, в которых значения ЭДС отличаются не более, чем на порядок.

Рис.5.2 Относительные отклонения ЭДС для импульса-ступеньки, восстановленной из зашумленной ЭДС от восстановленной из незашумленной

Ошибка все еще значительно больше уровня шума, однако теперь это хотя бы можно назвать результатом (раньше и этого не имели, см. рис.4.9), который можно использовать для предварительного восстановления параметров горизонтально-слоистой среды. Отметим, что хотя сглаженная кривая и имеет в некоторых точках большую ошибку, все равно предпочтительнее использовать гладкую кривую, так как для нее лучше работает процедура подбора горизонтально-слоистой модели, кроме того, в других случаях сглаженная кривая может иметь меньшую ошибку (см. рис.5.3).

Исходная ЭДС получена суммированием для полусинуса и зашумлена (шум 5%, высокочастотный), разрешено возрастание на 5%, в подинтервалы сглаживания включаются точки, в которых значения ЭДС отличаются не более, чем на порядок.

Рис.5.3 Относительные отклонения восстановленной ЭДС от истинной

На следующем рисунке показан результат восстановления с регуляризацией, когда возрастание запрещено, и когда разрешено. Входные данные из предыдущего теста.

Рис.5.4 Результат регуляризации когда возрастание запрещено, и когда разрешено (показан фрагмент)

5.5.  Регуляризация по производной

В заключении рассмотрим еще одну модификацию процедуры регуляризации. Допустим в результате описанных выше способов была восстановлена некоторая ЭДС для импульса-ступеньки, используем ее для подбора характеристик горизонтально-слоистой среды в программном комплексе HORIZON. После подбора в нашем распоряжении будет кривая ЭДС, соответствующая подобранной среде. Используем ее при регуляризации введя вместо добавки (5.1) добавку

, где - значение производной, вычисленное по кривой, полученной после подбора среды. Выполнив действия, аналогичные приведенным для первой регуляризации, можно легко получить добавку в правую часть системы (5.2), сама система при этом не изменится.

,

.