Разложение импульса.Разложение ЭДС.Использование регуляризации, страница 8

Остается вопрос выбора коэффициентов регуляризации , причем брать все одинаковые нельзя, так как изменяется в большом диапазоне значений (например, от 10^-6 до 10^-18). К сожалению, априорно выбрать , не удалось и поэтому попытаемся реализовать процедуру постепенного подбора. Для этого нужно ввести некоторый критерий, по которому можно было бы определять в каких точках следует изменить коэффициент регуляризации. Известно, что кривая ЭДС для импульса-ступеньки является не возрастающей. Используем это. Пусть, изначально имеют некоторое малое значение (пока что одинаковое для всех i). Решаем систему (5.2). Если полученное решение не монотонно, то в точке, где ЭДС начинает возрастать увеличиваем коэффициент и снова решаем систему (5.2). Если монотонность не достигнута, снова увеличиваем и т.д. Реально нет смысла увеличивать отдельные коэффициенты. Вообще, желательно чтобы не убывали, так как в противном случае, в тех местах где коэффициенты убывают, учитывая то что ЭДС не возрастает, имеется потенциальная возможность появления колебаний в решении. В связи с этим, как только обнаружили некорректную точку (пусть она имеет номер s), увеличиваем коэффициенты начиная с и далее, пока не восстановится монотонность (хотя бы нестрогая). Так как, изначально все коэффициенты были одинаковые и, следовательно, имела место нестрогая монотонность, то чтобы ее восстановить, в худшем случае придется увеличить .

Описанный подход был реализован и протестирован, в результате выявился следующий недостаток. Пусть на каком-то шаге получили решение и оно ведет себя как показано на рис.5.1.

Рис.5.1 Схематичный вид решения, при использовании регуляризации.

Алгоритм обнаруживает возрастание в точке и увеличивает , разность уменьшается, но с другой стороны, остался тем же и практически не меняется, таким образом конечное решение будет лежать ниже истинного. Лучшим вариантом было бы увеличить и коэффициент , и . С этой целью был введен контроль за изменением производной: если в некоторой точке производная резко изменилась по отношению к производной в предыдущей точке, то увеличивается коэффициент, соответствующий большей производной. Этот метод по сравнению с предыдущим дает лучшие результаты, хотя в ряде случаев все равно полученное решение, лежит ниже истинного. Построить критерий, который бы показывал, что в некоторой точке коэффициент слишком велик не удалось, поэтому остается только подбирать плавно двигаясь снизу вверх и главное не перестараться. В связи с этим не стоит сразу требовать монотонности: тестирование показало, что лучше разрешить малое возрастание (скажем 1%-5%), тогда получается решение, плавно колеблющееся около истинного, а не лежащее под ним, как это было в предыдущем случае.

В итоге был реализован следующий подход: проводим регуляризацию, по описанному выше алгоритму и разрешаем малое возрастание, после этого сглаживаем полученное решение с условием, что сглаживающий сплайн должен быть монотонным (если сплайн получился немонотонный, то увеличиваем подинтервал сглаживания, на котором нарушилась монотонность). Сглаженную кривую используем для подбора среды в программном комплексе HORIZON. Сглаживание выполняется по двум причинам, во-первых желательно чтобы кривая была монотонной, во-вторых на гладкой кривой лучше работает процедура подбора горизонтально-слоистой среды.

5.3. Сглаживание

Рассмотрим построение сглаживающего сплайна [3]. Пусть имеется n значений , нужно построить кубический полином , такой, что будет минимальной. Используем кубические базисные функции , которые были описаны выше (см. п.3.2.2), тогда