Разложение импульса.Разложение ЭДС.Использование регуляризации, страница 10

Коэффициенты  будем подбирать следуя тому же алгоритму, что и раньше, но с использованием только критерия невозрастания. Второй критерий здесь не нужен, так как в систему уже введено некоторое приближенное значение производной, отклонение от которого желательно минимизировать.

Покажем на одном тесте весь ход решения. Пусть импульс — это затухающие гармонические колебания (рис.5.5); параметры разложения импульса: мелкость разбиения - 10^-5, коэффициент сгущения 1.01; кривая ЭДС для импульса-ступеньки вычислена в программном  комплексе HORIZON для трех-слойной среды (см. таблицу 5.1); исходная ЭДС получена суммированием для указанного импульса и зашумлена (шум показан на рис.5.6).

Таблица 5.1

Параметры среды

№ слоя	Толщина	Сопротивление
1	100	10000
2	50	10
3	10000	50

Рис.5.5 Импульс

Рис.5.6 Шум

Первое восстановление.

Рис.5.7 Результат восстановления ЭДС для импульса-ступеньки

Таблица 5.2

Подобранные параметры среды по первой восстановленной ЭДС

Второе восстановление, регуляризация по производной.

Рис.5.8 Результаты восстановления с использованием регуляризации по производной (первый подход)

Таблица 5.3

Подобранные параметры среды по второй восстановленной ЭДС

После четвертого шага кривые визуально уже практически совпадают, поэтому на следующем рисунке приводятся относительные отклонения.

Рис.5.9 Результаты восстановления с регуляризацией по производной (третий подход). Показаны относительные отклонения от истинной ЭДС

Таблица 5.4

Подобранные параметры среды по третьей восстановленной ЭДС

На следующем рисунке показаны относительные отклонения кривых, полученных при регуляризации по производной, от кривых, по которым вычислялось приближенное значение этой производной.

Рис.5.10 Относительные отклонения восстановленных кривых, от кривых, по которым вычислялась производная

Видим, что последняя кривая имеет отклонение не превосходящее уровень шума, поэтому дальнейшие шаги уже бессмысленны.

6.  Выводы

Была реализована простая и быстрая процедура получения ЭДС, соответствующей импульсу-ступеньке, из ЭДС для произвольного импульса. Задача в итоге свелась к решению СЛАУ, матрица которой имеет верхнетреугольный вид в случае линейной аппроксимации ЭДС и плюс еще одну диагональ под главной в случае сплайновой аппроксимации. Аппроксимация сплайном дает лучшее приближение, но требует ограничения на шаг по времени.

К сожалению, этот метод оказался неустойчивым к высокочастотным возмущениям, поэтому чтобы провести восстановление из зашумленных данных была сделана попытка использовать регуляризацию при решении СЛАУ. На этом этапе обнаружилась новая проблема — выбор коэффициентов регуляризации. Из-за того, что решение имеет сильные колебания (даже при малом зашумлении входных данных) априорный выбор коэффициентов невозможен (либо в решении остаются колебания, либо получающаяся кривая ЭДС лежит существенно ниже истинной). С автоматическим подбором тоже существует ряд трудностей: невозможно определить в каких точках коэффициент слишком велик и нуждается в уменьшении; решение слишком чувствительно к изменениям отдельных коэффициентов. В результате все-таки был реализован автоматический подбор, начинающий с маленьких значений коэффициентов регуляризации и постепенно увеличивающий их в местах, где решение имеет колебания. Восстановленная таким образом ЭДС в ряде случаев может иметь ошибку, превосходящую уровень шума (высокочастотного) в 2-2,5 раза, или иметь значительный прогиб на небольшом интервале. Такую кривую можно использовать для предварительного подбора среды и затем провести повторную регуляризацию с использованием кривой, полученной в результате этого подбора (регуляризация по производной). Такой подход дает улучшение, получаемые кривые имеют уже меньшую ошибку.