Разложение импульса.Разложение ЭДС.Использование регуляризации, страница 6

Перейдем к рассмотрению практических результатов. Далее почти везде используются два импульса: четвертьсинус длиной 2.5мс и полусинус длиной 5мс. Параметры разложения импульсов всегда одинаковые: мелкость разбиения 10^-4, коэффициент сгущения 1.01. На рисунках, если нет специальных оговорок, ЭДС показывается в билогарифмическом масштабе, причем исходные ЭДС для наглядности сдвинуты влево на длину импульса; относительные отклонения указываются в процентах и в логарифмическом масштабе по времени.

Для первых тестов используются кривые ЭДС, полученные в результате решения двумерной задачи, описываемой уравнением (3.5) в пакете TELMA, для импульса в виде четвертьсинуса и полусинуса. Результаты восстановления ЭДС для импульса-ступеньки приведены на рис.4.1-4.3.

Рис.4.1 Исходная и восстановленная ЭДС для четверть синуса

Рис.4.2 Исходная и восстановленная ЭДС для полусинуса

Рис.4.3 Относительное отклонение восстановленных кривых ЭДС для импульса-ступеньки от ЭДС для импульса-ступеньки, полученной в пакете TELMA

Для последующих тестов исходная ЭДС получается путем суммирования, согласно формуле (3.1), ЭДС для импульса-ступеньки, рассчитанной в пакете HORIZON. Естественно, что проводить восстановление непосредственно из полученной таким образом ЭДС бессмысленно (так как вернемся к тому, с чего начали с точностью до ошибок округления), поэтому, перед проведением теста, из этой кривой либо  удаляется часть точек, либо она зашумляется.

Следующие тесты направлены на выяснение качества линейной и сплайновой аппроксимаций. Исходная ЭДС получается так: в программе HORIZON вычисляем подробную кривую ЭДС для импульса-ступеньки (эта кривая содержит 30 точек на порядок по времени), суммируем ее используя линейную интерполяцию и затем удаляем часть точек. Импульс — четвертьсинус и полусинус. Исходные кривые показаны на рис.4.4, результаты восстановления на рис.4.5-4.7, относительные ошибки приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Максимальная и средняя ошибки для линейной и сплайновой аппроксимации

Импульс	Точек в исходной кривой (на порядок)	Макс. Ошибка (%)		Средняя ошибка (%)
		Линейная	Сплайн	Линейная	Сплайн
Четвертьсинус	20	12.6	10.6	3.23	2.01
	10	28.1	56.3	7.69	3.79
Полусинус	20	14.1	12.5	2.92	1.71
	10	30.4	17.9	6.54	2.66

Рис.4.4 Кривые ЭДС для импульса-ступеньки, полученные в пакете HORIZON и соответствующие им ЭДС для четвертьсинуса и полусинуса

Рис.4.5 Результаты восстановления для четвертьсинуса. Показаны относительные отклонения от ЭДС для импульса-ступеньки из пакета HORIZON

Рис.4.6 Конечная часть восстановленных кривых (исходная ЭДС содержала по 10 точек на порядок)

Рис.4.7 Результаты восстановления для полусинуса. Показаны относительные отклонения от ЭДС для импульса-ступеньки из пакета HORIZON

Как и следовало ожидать, в общем сплайн обеспечивает более хорошее приближение. Однако из рис.4.6 видно, что при сильно больших шагах по времени сплайн может прогибаться и давать неадекватное представление. Таким образом, при использовании сплайновой аппроксимации необходимо вводить ограничения на длину шага по времени. Вопрос о том, каким именно должно быть это ограничение в данной работе рассматриваться не будет и далее везде используется линейная аппроксимация.

Теперь перейдем к изучению поведения метода в ситуации, когда входные данные зашумлены. В следующих тестах, в качестве исходной используется ЭДС, полученная в пакете TELMA для импульса в виде четвертьсинуса и полусинуса (их можно увидеть на рис.4.1, 4.2). Исходная ЭДС зашумлялась следующим образом: в каждой точке  к значению  прибавлялась случайная величина, имеющая равномерное распределение , где  - уровень шума, в данном случае  (5% процентов).