Расчетно-графическая работа по теме «Численные методы решения задачи Коши»

I.  Расчетно-графическая работа по теме «Численные методы решения задачи Коши».

Пусть дана задача Коши:                                               

Построим приближенное решение задачи (1.1), определенное лишь в конечном числе точек   заданного отрезка .

Определение. Множество точек , на котором ищется приближенное решение называется сеткой. Точки  - узлы сетки, величина  - шаг сетки. Функция дискретного аргумента , определенная лишь в узлах сетки называется сеточной функцией.

Для определения сеточной функции , являющейся приближенным решением исходной дифференциальной задачи (1.1), должна быть задана разностная схема – система уравнений, связывающих между собой значения сеточной функции , заданных дополнительных условий и правой части уравнения (1.1) в узлах .

Если исходную задачу можно записать в виде:

,                                                             

где L - дифференциальный оператор, то соответствующая разностная схема –

,                                                             

где  -  разностный оператор.

Задача определения сеточных функций должна быть поставлена так, чтобы при , сеточные функции сходились в определенном смысле к точному решению дифференциальной задачи.

Определение. Будем говорить, что семейство сеточных функций  сходится к точному решению  задачи (1.2), если .                     

Если, кроме того, существует такое , что при

,                                                

где C, k -  постоянные величины, не зависящие от h, то будем говорить, что имеет место сходимость порядка k.

Сеточная функция  и решение дифференциального уравнения (1.2) -  y(x) удовлетворяют уравнениям разной природы. Поэтому для оценки близости решения разностной задачи (1.3) к решению дифференциального уравнения (1.2) используют понятия «аппроксимация» и «устойчивость» разностной схемы.

Определение. Будем говорить, что разностная схема имеет k-ый порядок аппроксимации на решении задачи (1.2), если существует такое , что при

где где C, k -  постоянные величины, не зависящие от h.

Определение. Схема называется устойчивой по начальным условиям и правой части уравнения, если существует такое , что при  для нормы погрешности выполняется неравенство

,                                                       

т.е. малое изменение исходных данных приводит к малому изменению решения.

Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью определяет теорема [4].

Теорема. Если разностная схема (1.3) устойчива и аппроксимирует задачу (1.2) с порядком k, то решение  при ,  сходится к решению , причем порядок сходимости тоже равен k, т.е. имеет место оценка (1.5).

                                           Методы Рунге-Кутты.

Пусть функция  в  уравнении (1.1) имеет непрерывные частные производные вплоть до -го порядка. Тогда решение уравнения (1.1)  будет иметь непрерывные частные производные вплоть до  -го порядка:

.                       

Все производные в правой части формулы (1.8) можно вычислить с помощью уравнения (1.1). Будем искать численное решение (1.1) в виде:

,                                              

где  - постоянные коэффициенты, ,  - коэффициенты, - шаг дискретизации.

Выбрав шаг , зная коэффициенты ,, можно определить решение . Выбор коэффициентов  ,, производится таким образом, чтобы разложения (1.8) и (1.9) совпадали до возможно более высоких степеней . Этим условиям удовлетворяет метод Рунге-Кутты второго порядка:

со вторым порядком аппроксимации и формулы Рунге-Кутты четвертого порядка:

с четвертым порядком аппроксимации.

Анализ устойчивости схем Рунге-Кутты.

В общем виде схемы Рунге-Кутты можно записать:

,                                       где  - некоторая непрерывная функция аргумента . Уравнение (1.10) будет устойчивым, если устойчиво соответствующее однородное уравнение:

.                                            

Исследование на устойчивость разностного уравнения (1.11) эквивалентно исследованию на устойчивость дифференциального модельного уравнения [1]:

.

Для схемы Рунге-Кутты второго порядка  при решении модельного уравнения, а так как схема будет устойчива при условии , т.е., если , то выполнение условия эквивалентно ограничению на выбор шага: .

Для схемы Рунге-Кутты четвертого порядка условие устойчивости несколько слабее: . Данные схемы условно устойчивы, но выбор шага  позволяет их использовать при решении различных классов задач. Все методы Рунге-Кутты являются явными, т.е. вычисления  проводятся только при известных    и одношаговыми ( для определения  делается один шаг от  к ).