Расчетно-графическая работа по теме «Численные методы решения задачи Коши», страница 3

            где - погрешность.

Формула (1.14) предполагается точной для многочленов до четвертой степени, т.е. при . Используя эти пять условий, и выбрав два коэффициента в качестве параметров (например, ), получаем следующие выражения для определения остальных коэффициентов:

Для построения формулы (1.14) мы использовали разложение функции y(x) в ряд Тейлора вплоть до пятого члена. Поэтому порядок аппроксимации для данной формулы будет в общем случае , а погрешность .Выбором параметров  мы можем попробовать повысить порядок аппроксимации, а можем использовать эти параметры для увеличения устойчивости формулы (1.14).

Исследуем формулу (1.14) на устойчивость. Пусть y(x) – точное решение  уравнения (1.1). Тогда                 

          

где  - погрешность, возникающая при подстановке точного решения в неточную формулу (1.14). Определим погрешность разностной схемы (1.14) следующим образом: , вычитая из соотношения (1.15) соотношение (1.14), получим разностное уравнение для вычисления погрешности.

       

Значение  по теореме о среднем, где . Так как шаг интегрирования h достаточно мал, то можно предположить, что величины  и   - постоянны (на практике они обычно медленно меняются от шага к шагу). С учетом этих допущений выражение (1.16) примет вид:

               

Соотношение (1.17) – это линейное разностное уравнение. Так как в уравнении (1.17) величины  A и h встречаются только в виде произведения, то естественно считать, что выбор шага h может компенсировать влияние коэффициента A.Устойчивость разностного уравнения (1.17) обеспечивается устойчивостью соответствующего однородного разностного уравнения. Общее решение однородного разностного уравнения имеет вид:

.

Т.е. решение, полученное по формуле (1.14) будет устойчивым и ошибка 

не будет возрастать, если   и будет условно устойчивым, если . В некоторых случаях выбор параметров  позволяет построить устойчивую коррекцию.

Общий вид линейного прогноза по трем точкам [1]:

                      

Будем определять коэффициенты прогноза (1.18) исходя из погрешности аппроксимации порядка . Это означает, что формула (1.18) будет точной для полиномов степени не выше третьей, т.е. мы получаем следующее семейство прогнозов:

Исследование на устойчивость проводится так же как и для коррекции.

Определение. Прогнозами (коррекциями) типа Милна     называются прогнозы (коррекции), использующие дополнительные «старые» значения функции, например, .

Прогнозами (коррекциями) типа Адамса-Башфорта     называются прогнозы (коррекции), использующие дополнительные «старые» значения производной, например, .

План выполнения расчетно-графической работы.

1.  Для заданного уравнения прогноза (коррекции) выбрать порядок аппроксимации. В соответствии с выбранным порядком аппроксимации вычислить коэффициенты прогноза (коррекции) и определить некоторое семейство прогнозов (коррекций).

2.  Исследовать полученное семейство на устойчивость. Определить область абсолютной (условной) устойчивости в зависимости от коэффициентов исследуемого разностного уравнения.

3.  Для заданного уравнения прогноза (коррекции) определить соответствующее уравнение коррекции (прогноза). Вычислить коэффициенты этого уравнения и исследовать его на устойчивость.

4.  Из полученного семейства «прогноз-коррекция» выделить две пары прогнозов и коррекций (это минимальное количество исследуемых схем) и провести ряд вычислительных экспериментов.

5.  Проанализировать результаты вычислительных экспериментов, сделать выводы.

Вычислительные эксперименты предлагается проводить следующим образом:

1.  Выбрать шаг h, при котором теоретически выполняется неравенство (1.5) (обычно на практике шаг h<0,1).

2.  Для заданных тестов получить численное решение методами «прогноз-коррекция» на отрезке [0,1] с шагом . Так как методы «прогноз-коррекция» не самоначинающиеся, то первые несколько значений решения вычисляются с помощью методов Рунге-Кутты.

3.  Полученные результаты оформить в виде таблицы.