Методы функционального анализа, страница 9

 выбираем так, чтобы она была равна 1 в объеме и 0 везде вне объема. Вариант взвешенных невязок называют МКО.

По формуле Остроградского-Гаусса:

   -граница.   – векторное поле.   – компонента поля.

Стационарный процесс в области , тогда интеграл представляет собой суммарный поток тепла через границу КО .

Правая частьинтеграл от плотности тепловых источников, находящихся в КО.

Необходимо учитывать, что на границе области – неполный КО.

Итерационный метод:

1. Жестко установлен критерий останова.
2. Наличие сходимости
3. Затраты на вычисление

Последний элемент в матрице Хессенберга – норма невязки!

Методы решения СЛАУ в подпространстве Крылова

Пусть дана система:   (1) где - действительная невырожденная матрица.

Цель: решить СЛАУ, воспользовавшись проекционными методами.

Проекционные методы

Найти некоторое приближенное решение из подпространства , если -искомое подпространство и -его размерность, то необходимо определить  условий, из которых найти решение в подпространстве  размерности , т.е придумать и реализовать  условий.

Пусть формирование этих условий – введение  независимых условий ортогональности, например,  - вектор невязки, значит он должен быть ортогонален некоторым  линейно независимым векторам. Эти  векторов формируют подпространство – подпространство ограничений. Это условие называется условием Петрова-Галеркина.

Методы

1.  Ортогональные:

2.  Не ортогональные: позволяет сконструировать много методов

Проекционная техника на подпространство  и ортогонально  – есть процесс, позволяющий найти приближенное решение  с помощью введения условий: . F новый вектор невязки .

Тогда сформулируем задачу:

Найти  при условии .

 порождает квадратичный выпуклый функционал.

Векторный МКЭ. Общее представление.

Рассматриваются два типа задач:

1. Уравнение Навье-Стокса.

 - скорость,  - давление. В смешанной постановке  и  ищутся в разных функциональных пространствах.

Ограничение:

2. Уравнение Максвелла.

 характеристики поля

 характеристики потока

Ограничения: , .

В разрывной области характеристики магнитного поля требуют непрерывности тангенциальных компонент, а характеристики электрического поля - непрерывности нормальных компонент.

Для магнитного поля хотя и требуется непрерывность тангенциальных компонент, но нужно сохранить скачок нормальных компонент на границе разрыва. Уравнения Максвелла можно решать как уравнения первого порядка, а можно как второго (эллиптическая, параболическая, гиперболическая).

В векторном МКЭ непрерывность нужной компоненты поля обеспечивает базис.

Существуют два типа элементов:

1. Edge-элементы – тип базиса, обеспечивающего непрерывность тангенциальной компоненты поля.
2. Face-элементы – тип базиса, обеспечивающего непрерывность нормальной компоненты поля.

Ориентация в пространстве:

Направление от меньшего к большему.

                  

Связываем направление ребер с направлением осей .

Если каждая сторона элемента определяется постоянной тангенциальной компонентой поля, то поле на элементе можно представить следующим образом:

                              

                              

 – компонента поля вдоль ребра ,  - компонента поля вдоль ребра  и т. д.

, где  – тангенциальное поле вдоль ребра ,  - векторные базисные функции, которые определяются следующим образом:

                     

Особенности базисных функций :

1.  имеет тангенциальную компоненту только для -го ребра
2. Каждая  удовлетворяет внутри элемента соотношению

Таким образом, мы получили возможность представлять векторные поля там, где нет источника.

,

                       

базиса  – ненулевые константы.

, .

.

,

Воспользуемся векторной формулой Грина:

,

Локальные матрицы:

,     .