Методы функционального анализа, страница 3

От противного:

Пусть  и  – решения   и    ,  .

Обозначим . Возьмем .

,      .

Предположим, что  решение 2. Найдем , что . Покажем, что  решение 1.

Пусть  – произвольный элемент из , тогда

   выполняется для .

Пусть , т.е.  – решение 1.

Докажем справедливость 3.

 .

Выпишем разность

.  - решение.

Если  – подпространство , Л.Ф. и Б.Ф.  совпадают с Б.Ф. и Л.Ф. бесконечного пространства .

Рассмотрим эллиптическую краевую задачу и пусть все условия теоремы Лакса-Мильграма выполнены, т.е. существует ограниченная и коэрцитивная Б.Ф.  и некоторый ограниченный линейный функционал, определенный в гильбертовом пространстве .

Решением является единственный элемент :

  (1)

Если  – симметричная, то  (2),  (3).

Метод Ритца

Для получения приближенного решения необходимо привести ее дискретный аналог. В случае метода Ритца означает правильный выбор -го подпространства . Тогда все условия теоремы выполняются и для .

Теорема

Пусть условия теоремы Лакса-Мильграма выполнены и ,  – гильбертово пространство   элемент  такой, что   (4). Если  – симметричная форма, тогда  (5).

Теорема не дает процедуры поиска . Ее можно получить, построив конечномерное пространство . Используя симметричность  и пусть  – некоторый базис , т.е. определено множество линейных независимых функций. Тогда каждая функция  может иметь единственное представление  (6), .

Подставим (6) в (3) и используя свойства Б.Ф.  и , получим:

 (7)   - СЛАУ.  (8)

 – симметричная положительно определенная матрица и .

Т.е. если условие коэрцитивности выполнилось для исходной задачи, то оно будет выполнятся и для дискретной.

Симметричная Б.Ф.  влечет за собой симметричность матрицы .

Из теоремы Лакса-Мильграма  Б.Ф.  коэрцитивна    и не зависит от . Т.к.   , то справедлива теорема

Теорема 2

Утверждается, что Б.Ф.  симметрична и коэрцитивна  обеспечивает положительную определенность матрицы .

Из соотношения (7)  .

 – квадратичный функционал  в  с положительно определенным гессианом, который минимизируется единственным , которое удовлетворяет уравнению  (9).

Минимизатор  для  в  определяется коэффициентом , найденным после решения (9) и его подстановкой в (6).

Для определения  сделаем следующие шаги:

1. Выбрать базис  в .
2. Построить матрицу  и правую часть  в соответствии с (8).
3. Найти , минимизируя , или, что эквивалентно, решить систему (9).
4. Представить  в виде   (6).

Выбор базиса целиком определяет вычислительную эффективность всей процедуры решения эллиптической задачи в форме Ритца.

Анализ погрешности метода Ритца

 – дифференцируемый оператор.

В качестве базиса берем собственные функции оператора . Если Б.Ф. симметрична, то соответствующие значения , удовлетворяющие . Это означает, что они положительны  и упорядочены . Б.Ф. определена  в   матрица    , что с практической точки зрения нереально.

Поэтому пытаемся построить базис. Решаем исходное операторное уравнение  . Из соотношения  следует, что  (10) или в энергетической норме это означает, что .

Фундаментальный результат устанавливает, что метод Ритца минимизирует ошибку  в энергетической норме на подпространство . Такая оценка называется оптимальной.

   – решение исходной операторной задачи.

 

  (11)

В геометрическом смысле  – ортогональная проекция по отношения к энергетическому скалярному произведению  на подпространство .

Используя элементарный Фурье анализ можно найти простое выражение для оценки ошибки (10).

Если базисные функции  пространства  являются размерно-независимыми и полны в  и ортонормальны по отношению к энергетическому скалярному произведению , тогда решение  можно представить в виде ряда Фурье:

 

Если  образовано  базисными функциями, то сумма  является ортогональной проекцией на  по отношению к энергетическому скалярному произведению.

Т.о. , ,  (12).