Методы функционального анализа, страница 4

Оценка ошибки в норме

Т.к. Б.Ф.  удовлетворяет условиям теоремы Лакса-Мильграма  существуют такие константы  и , что  . Тогда (10) можно представить в виде   (13).

Оценка (13) почти оптимальная. Этот результат приводит к проблеме аппроксимации: Как хорошо можно приблизить функцию из  функцией из  в норме  ()?

Т.к. для краевых задач порядка  норма  – это соболевская норма , то можем получить оценку погрешности и в норме .

Формулировка несимметричной вариационной задачи

  1. Гильбертово пространство  со скалярным произведением.
  2.  – замкнутое подпространство в .
  3. Б.Ф.  не обязательно симметричная.
  4. Б.Ф.  непрерывна и ограничена в .
  5. Б.Ф.  коэрцитивная.

Пример:

 в , .

Пусть   , .

Дано: . Найти  такое, что  .

Доказать, что  – непрерывно.

следовательно,  непрерывно с const=2.

Докажем, что  коэрцитивно.

следовательно,  коэрцитивно с const=1/2.

Это означает, что для симметричного случая будет существовать единственное решение.

Метод Галеркина. Некоэрцитивная проблема.

Пусть Б.Ф.  некоэрцитивна, но удовлетворяет слабому неравенству (аналог условия 3 в теореме Л..-М..).

Необходимо ввести дополнительные условия:

  1. Пусть ,  – два гильбертовых пространства с нормами  и . Полагаем, что  и выполняется  .
  2. Пусть  – Б.Ф. в , удовлетворяющая условию ограничения

 .

  1. Пусть  – конечная последовательность конечномерных подпространств в  и существуют постоянные  и  такие, что  .

 и  не зависят от решения.

  1. Пусть  последовательность положительных чисел  таких, что  и для каждого  удовлетворяющего соотношению  , это верно тогда, когда .

Теорема 4

Пусть  и пусть рассматривается задача нахождения  такая, что Б.Ф.

         (1)

Если условия 1-4 выполнены, то существует целое  такое, что (1) имеет единственное решение  , кроме того, , независящая от  и , что  и . Это справедливо для .

Конформный МКЭ – это метод, для которого  () есть подпространство , а Б.Ф. и Л.Ф. дискретной задачи совпадают с соответствующими формами исходной задачи.

Дифференциальная задача:

  1.  – область определения – геометрическая область.

   – сеточный аналог. Для определения сетки необходимо определить признак соседства:

соседними являются элементы, если они имеют общими узел/ребро/грань. Иначе не являются соседними.

  1. Ассоциируем   , . Определим ,  – сужение функции в  на -ом элементе.
    • Для каждого элемента  из  пространство  должно состоять из функций, которые многочлены или почти многочлены.
    •  – конечномерное пространство, натянутое на сужение  – функции из .
    • Необходимо убедиться, что в  существует канонический базис из легко описываемых функций с конечным носителем.

Классификация сеток

Структурированная сетка

Сетка, у которой предопределенная структура или порядок всегда существует. В двумерной области сетка структурирована логически, если точки  и  – соседи относительно точки . Предполагается, что эта логическая структура соблюдается для всех точек области и неявно используется при конструировании конечномерной системы алгебраических уравнений, описывающих соответствующий объект. Структурированные сетки формируют семейство четырехугольных сеток, которые используются в численных методах, т.к. соседние точки связаны в пути, то добавление или исключение точек, требует переиндексирования всех точек.

Неструктурированная сетка

Сетки, не имеющие предопределенной логической структуры, и поэтому содержат систему произвольно расположенных точек. Единственный сеточный индекс достаточен, чтобы идентифицировать точку (индекс признак соседства не определяет). Сеточные точки не лежат вдоль некоторого конкретного направления. Они произвольно разбросаны по области. Соседние точки связаны отрезками. Сеточные точки  формируют вершины треугольника, отрезки их соединения – ребра.

Скачать файл