Методы функционального анализа, страница 8

Выпишем конечно-элементную аппроксимацию для решения (4). Определим конечномерное пространство . В качестве конечных элементов возьмем кусочно-линейные функции на треугольниках. В результате получим

, где матрица ассемблирована из следующих элементов:

Нам неизвестно . Выпишем задачу относительно . Представим элементы локальной матрицы следующим образом:

Получим, что (5) можно представить в виде

Получим обобщенную проблему собственных значений

-симметричные разреженные матрицы, - положительно определенная.

Решив (10) найдем . Будем задавать частоту и свойства материала получим коэффициент затухания .

. Матрица очень мешает, ее надо убрать. Найдем . Т.к. - симметричная и положительно определенная, то

Метод конечных объемов

Это энергетически сбалансированные методы.

, - поток поля через поверхность , ограничивающую область

Метод конечных объемов является наиболее эффективным в следующем случае:

заданная векторная функция, которая называется векторным потоком.

- источник излучения, который возможно является функцией пространства и времени.

Умножим обе части (1) на тестовую функцию и проинтегрируем.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Определим контрольный объем. Например, в качестве контрольного объема возьмем треугольник.

В качестве тестовой функции для МКО используется функция, равная единице на контрольном объеме и нулю вне его. Тогда в левой части уравнения (*) интеграл

Мы получили основное выражение для конечно-объемных формулировок задачи (1). Определим функцию , чтобы упростить формулировку:

Необходимо отметить, что правую часть (2) тоже можно определить приближенно.

Тогда конечно-объемное уравнение (2) имеет вид:

Интеграл сумма интегралов по ребрам контрольного объема (треугольника). Пусть - номер ребра. Величина аппроксимируется . Через обозначим длину каждого ребра. Введем следующие обозначения:

Пусть соседними треугольниками являются треугольники . Контрольный объем, который мы рассматриваем, ассоциирован с узлом . Величина может быть определена достаточно просто:

В результате получим

, т.к. сумма всех входящих и выходящих потоков должна быть скомпенсирована.

Суммирование производится по всем соседним ячейкам.

-ориентирован относительно нормали , где -длина ребра. Скалярный МКЭ работает с узловыми значениями функций, МКО работает с потоками входящими -выходящими в(из) объема.

суммирование по всем соседним ячейкам.

Векторный МКЭ (лекция 08.05.04)

В простых аппроксимациях возникает следующая проблема: их невозможно использовать при больших . В МКО типичным является использование в этом случае противопотоковых схем: модифицируем соотношение .

. С учетом этого соотношения получаем

Для ячейки , получаем:

Когда можно сказать, что мы построили решение с нужным порядком аппроксимации и правильное решение получили при дроблении сетки.

Мы получили, что диагональные элементы должны быть не отрицательны.

Не диагональные элементы – не положительны.

Строчные суммы элементов = 0. Получили матрицу, обладающую свойством слабого диагонального преобладания. Неполные объемы (краевые условия) – слабое диагональное преобладание. В качестве КО используется триангуляция.

МКР

МКО