Методы функционального анализа, страница 5

Пусть  – число вершин,  – число ребер,  – число треугольников.

.

С каждым треугольником  будем связывать точку , которая определяет положительность треугольника в . Определение  не является единственным. Определим ребра треугольников, как ориентированные отрезки, соединяющие точки  и .

Вектор, соединяющий  и  .

Пронумеровать ребра и их ориентацию определить.

Каждое ребро принадлежит треугольнику , которое лежит слева от него и треугольнику , который лежит справа от него. С каждым ребром можно ассоциировать единичный тангенциальный вектор ,  – длина ребра. Можно определить единичный вектор нормали . Необходимо задать обход области (по часовой стрелке).

Такие структуры данных образуются посредством обработки первичной (список сеточных элементов) и вторичных (определяет связи между элементами первичной сетки) структур данных.

Пример для двумерного случая: первичная содержит список треугольников, вершин и ребер. Вторичная содержит перекрещивающиеся индексы. Массив индексных ребер определяется номерами ячеек слева и справа от ребра. Остальные массивы индексных ячеек определяется индексами 3х вершин и 3х ребер.

Не все классические постановки оказываются правильными. Существуют задачи, где разрывное решение, правая часть – поэтому необходимо искать обобщенное решение (основатель Дирак).

Пример.

Пусть некоторая материальная точка имеет массу =1 и совпадает с началом координат.

Нужно распределить эту массу равномерно по шару . Определим плотность .

В качестве искомой плотности  примем поточечный предел последовательности , :

 (*).

Потребуем от , чтобы  давал массу вещества, заключенную в этом объеме:

 (**).

В силу (*) левая часть (**) всегда равна нулю. Это противоречие показывает, что поточечный  не может быть взят в качестве плотности .

Введем понятие и вычислим слабый предел. Для любой непрерывной функции  найдем предел числовой последовательности  . Покажем, что этим пределом является функционал , который сопоставляет каждой непрерывной функции  число .

 – это определение плотности  или известная функция Дирака.

Классическое представление метода Галеркина

Понятие распределения

Для приложения функционального анализа в физике необходимо обобщить классическое понятие функции так, как это сделал Дирак, а обосновал Лоран Шварц.

Теория распределения – это теория обобщенных функций.

Интеграл Римана позволяет подчеркнуть связь между распределениями и обобщенными функциями.

;   

               (1)

         (2)

 вводится так, чтобы можно было выполнить интегрирование по частям

:  (3)

Это выполняется  дифференцируемой функции .

Есть функция  – кусочно-непрерывная  (не обязательно дифференцируемая в обычном смысле), то ее производная в обобщенном смысле определяется как такая :  (4)

Это справедливо  непрерывной дифференцируемой при , которая тождественно обращается в нуль вне некоторого конечного интервала.

 и  определяются не заданием их значений для каждого значения , а значениями интегралов , причем это определено  из некоторого наперед выбранного класса.

Это означает, что (1)-(2)-(3)-(4) линейно зависят от функции .

Тогда обобщенная функция – это линейный функционал, определенный на выбранном надлежащим образом классе пробных функций.

Различные классы пробных функций порождают различные классы распределений. Чтобы охватить широкий класс пробные функции  должны быть бесконечно дифференцируемы и каждая из них должна обращаться в нуль вне некоторого промежутка. Они образуют класс . Соответствующие функции  образуют класс . Носителем функции  называют замыкание тех точек , для которых .

Условие, которое выделяет распределения из множества всех  линейных функционалов следующее: если определена сходимость  пробных функций, то функционал  будет непрерывным относительно этой сходимости   при .