Способы снижения трудоемкости статистического моделирования

5. СПОСОБЫ СНИЖЕНИЯ ТРУДОЕМКОСТИ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

5.1. Основные методы уменьшения дисперсии оценки

Как видно из представленных в подразд. 3.3 соотношений, уменьшение дисперсии используемой при статистическом моделировании оценки искомой характеристики  позволит пропорционально снизить количество опытов, необходимых для получения результата с заданной точностью.

Рассмотрим наиболее известные методы уменьшения дисперсии оценки на примере задачи определения математического ожидания некоторого показателя качества динамической системы со случайными параметрами.

Модель динамической системы задается в виде системы уравнений

                                       ,  i=1,2,...,n,                                   (5.1)

где  - вектор переменных состояния системы;  - вектор случайных параметров. Качество системы характеризуется мгновенным значением переменной состояния  в момент времени . Таким образом, задача сводится к оценке математического ожидания = =.

При использовании стандартной схемы статистического моделирования оценка  для заданной m-мерной ПРВ вектора случайных параметров  определяется по формуле (3.2), а необходимое для обеспечения заданной точности количество опытов - по формуле (3.19).

5.1.1. Метод выделения главной части

Решение системы (5.1) , которое, возможно, не может быть найдено аналитически, заменяют приближенным выражением , удобным для аналитических преобразований. Например:

или для единственного случайного параметра

, где ,  - некоторые функции времени.

Вводится новая переменная состояния  и в системе уравнений (5.1) выполняется замена переменной  на Z путем подстановки:

,

или

,

.

Оценка искомого математического ожидания определяется в виде:

, где первое слагаемое может быть найдено аналитически:

,

G - область возможных значений вектора V, а второе слагаемое определяется по методу статистического моделирования на основе многократного решения полученной новой системы уравнений до момента времени :  , ,  - i-я реализация вектора случайных параметров, N - количество решений системы уравнений для различных .

При удачном выборе функции  дисперсия случайной величины  может оказаться существенно меньше, чем дисперсия , что и приведет к сокращению требуемого количества опытов.

Пример. Рассмотрим достаточно простой пример, все необходимые расчеты для которого могут быть выполнены точно на основе аналитических решений. Пусть требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X апериодического звена 1-го порядка через 1 с  после подачи на вход сигнала . Коэффициент передачи звена k=4. Постоянная времени и начальное значение выходного сигнала - случайные: , . Параметр  распределен по равномерному закону в интервале , параметр  - по равномерному закону в интервале ,  и  статистически независимы. Допустимая абсолютная погрешность результата .

Искомое математическое ожидание , дисперсия  и необходимое количество опытов могут быть оценены на основе статистического моделировани или определены аналитически.

Сначала получим точное решение задачи. Изменение сигнала X во времени описывается дифференциальным уравнением

                                                           .                                                   (5.2)

Решение (5.2) имеет вид: .

Для t=1 с учетом статистической независимости параметров  и  получим:

,

,

.

С учетом известной  по (3.19) оценим количество опытов, необходимое для оценки  методом статистического моделирования с погрешностью, не превышающей  (при доверительной вероятности 0,997):

.

При решении этой же задачи методом статистического моделирования на основе итерационного алгоритма (с. 53) получены следующие оценки (БЭЙСИК, IBM PC, объем начальной серии опытов ):

 , , .

В процессе решения фактически выполнено  опытов.

Применим теперь к этой задаче метод выделения главной части. Приближенное решение уравнения (5.2) выберем в виде

                                             .                                   (5.3)

Его математическое ожидание при t=1 легко вычисляется аналитически:

.

Выполним в уравнении (5.2) замену переменной:

,

.

Получим новое уравнение , аналитическое решение которого имеет вид: .

Для t=1 интегрированием аналитического решения получим:

, , .

Таким  образом,  представляется  возможным для рассматриваемой задачи путем выделения главной части в виде (5.3) сократить трудоемкость статистического моделирования в  раза.

При  контрольном  статистическом  моделировании на основе использованного выше алгоритма получены следующие оценки:

, , , .

В процессе решения фактически выполнено  опыта. На практике трудоемкость моделирования сокращена в  раза.

Выберем другой вариант приближенного решения уравнения (5.2)

.

Для него получим:

,

,

,

,

.

На основе аналитического решения для t=1: ,  ,  - и ожидаемый выигрыш в количестве опытов в   раз.

При контрольном статистическом моделировании здесь были получены следующие оценки: , , ,  , фактическое количество опытов  и выигрыш в трудоемкости в  раза.

5.1.2. Метод существенной выборки

Преобразуем общее соотношение для определения математического ожидания = по генеральной совокупности следующим образом: