Способы снижения трудоемкости статистического моделирования, страница 6

1. Проведение серии объемом N опытов с натурной моделью с соблюдением основных требований статистического эксперимента (однородность условий и независимость отдельных опытов) и регистрацией реализаций случайных внешних воздействий на систему, имевших место в отдельных опытах.

В результате такого эксперимента получают случайную выборку значений показателя качества системы ,  по которой на основе (5.13) определяют оценку  искомой характеристики, и случайную выборку измеренных реализаций вектора внешних воздействий , по которой определяют вектор оценок статистических характеристик внешних воздействий :

                                         ,  k=1,2,...,K .                               (5.23)

2. Построение математической модели исследуемой системы, близкой к оригиналу в достаточной степени, чтобы обеспечивалась чувствительность ее характеристик к рассматриваемым внешним воздействиям. Проведение серии объемом N опытов с математической моделью с воспроизведением в каждом опыте измеренных при натурном эксперименте реализаций вектора U и определение оценки  статистической характеристики модели по (5.14).

3. Определение расчетного значения статистической характеристики модели  аналитическим методом или путем статистического моделирования достаточно большого объема . При определении  используется вектор оценок , полученный по выборке ограниченного объема N.

Проанализируем характер результатов моделирования.

Оценка  представляет собой случайную величину с характеристиками: ,  , где l - точное значение искомой статистической характеристики, соответствующее теоретически бесконечному количеству опытов, - дисперсия показателя качества R.

Составляющие вектора  представляют собой случайные величины, которые при отсутствии систематических ошибок измерения внешних воздействий имеют характеристики: , где  - составляющие вектора истинных значений статистических характеристик внешних воздействий, .

Оценка  представляет собой случайную величину с характеристиками: ,  , где  - точное значение рассматриваемой статистической характеристики математической модели, соответствующее теоретически бесконечному количеству опытов с натурной и математической моделями, - дисперсия случайной величины S.

Расчетное значение    в силу случайности  также является случайной величиной, для получения характеристик которой при допущении о малой величине  (k=1,2,...K) можно использовать разложение в ряд Тейлора в окрестности точки  с учетом только первых степеней:

,  .

Тогда с учетом (5.23) получим

, где  .

В результате ,  .

Аналогично можно получить корреляционные моменты связи:

,  ,  .

Оптимальная комбинированная оценка характеристики l строится в линейной форме: .

C учетом полученных выше математических ожиданий из условия несмещенности .

Коэффициент c определяется из условия минимума дисперсии  c учетом полученных соотношений для дисперсий и корреляционных моментов связи:

,

,

.

Удобно ввести в рассмотрение новую случайную величину Q=S-P, для которой . Тогда с учетом теоретических соотношений для определения дисперсии и корреляционного момента связей

,

.

В результате , и соотношение для оптимальной оценки примет вид, аналогичный (5.16): .

На практике возможно лишь использование оценки вида

, где ,  - оценки корреляционного момента связи и дисперсии, получаемые по N опытам,

,  ,

.

Коэффициенты  определяются приближенно на основе математической модели с использованием оценок составляющих вектора u:

,  k=1,2,...,K.

При оценке эффективности метода по соотношению дисперсий оценок  и   получим:  и возможный выигрыш в количестве опытов , где  - коэффициент корреляции случайных величин R и Q.

Остальные свойства данного комбинированного метода также аналогичны рассмотренному выше. Однако практически здесь трудно получить такой же значительный эффект, поскольку на величину коэффициента  влияют как упрощенность математической модели, так и неидеальность измерительной системы, используемой при натурном эксперименте.