Техническая термодинамика: Учебное пособие (Главы 1-7: Техническая термодинамика. Основные понятия и определения. Смеси идеальных газов), страница 15

Подставляя в ( *) дифференциальное соотношение du (5.17), получим:

СdT = С_udT + [T (P / T)_u - P] du + pdu =

= С_udT + T (P / T)_u  du.

Если принять p = const , то  С_pdT_p - CudT_p = T(P / T)_u  du_p

C_p -  C_u  = T(P / T)_u  (u / T)_p                                    (5.21)

Анализ (5.21) показывает, что разность C_p  и  C_u  определяется термической упругостью (P / T) и термической расширяемостью  (u / T) рабочего тела.

Алгебраические знаки для частных производных может быть либо оба положительными ( нормальные вещества ), либо оба отрицательными ( аномальные вещества ). Следовательно (C_p -  C_u) > 0. Следовательно C_p  > C_u .

Зависимость теплоемкостей от p и uможно установить следующим образом, используя выражения этропии ( 5.18) и (5.15):

dS - C_pdT - (u / T)_p dp

                           T

dS = (Cu / T)dT - (P / T)_u du.

Поскольку дифференциал удельной энтропии является полным, то смешанные производные равны между собой:

( / T)(C_p/ T)_T = ( / T)[- (u / T)_p]_p  =(²u / T²)_p;

( / u)(C_u /T)_T = ( / T)[+ (P / T)_u ] _u =+(²P / T²)_u ;

(С_p / P) = - T (²u / T²)_p

                                                                                                                                                                                                     (5.22)

(С_u  / u) = + T (²P / T²)_u.

Вывод: Если известно уравнение состояния или опытным путем определены (²u / T²) и (²P / T²) , то интегрирование выражения 5.22 позволит определить C_p  и C_u  как функцию параметров состояния системы. При этом может быть решена и обратная задача построения уравнения состояния реального рабочего тела.

6. Применение основных законов термодинамики к   

    идеальным газам

6.1. Термодинамические характеристики идеального газа

Идеальным называется такой газ между молекулами которого не существует силового взаимодействия, а сами молекулы не обладают ни объемом ни массой.

Закон Бойля ( 1662 г.), известеный из курса средней школы устанавливает связь удельных объемов и давлений. На одном и том же температурном уровне удельные объемы обратно пропорциональны давлениям:

при T = const; u₂ / u₁ = p₁ / p₂  или u₁ p₁ =u₂ / p₂ .

Следовательно произведение u p = f(Т).

Гей-Люссаком установлено, что для всякого конкретного газа комплекс p u /T_г =  const приводит к созданию газовых  термометров.

Численное значение постоянной зависит только от химической структуры газа:

const = R. Следовательно p u = RT.   

Уравнение состояния идеального газа  - формула Клайперона:

p u = RT.

Численное значение R  может быть определено при нормальных условиях T = 0 ⁰C; P =  одна физическая атмосфера - 101 325 Па:

R = p_ou_o / T_o = p_o /  r_o T_o ;  [R] = Дж/кг К.

Второй формой является запись уравнения состояния газа относительно 1 кмоля  его. В таком виде оно носит название уравнения Менделеева и получается на основании закона Авогадро, согласно которому в одинаковых объемах газов при одинаковых p и Т содержится одинаковое  число молекул. Правило: плотности газов относятся  как их относительные молекулярные массы М,  то  есть r_i /r_k  =  М_i / М_k  или  r_i М_i / r_k М_k.  Следовательно  при         p = const  и  T = const   или М_iu_i  =  М_ku_k : Мu  =  V_M  =  const. М - 1 К/моль газа.

Если отнести зависимость  pV  =  mRT  к V_М:

 pV_М  = МRT.

Поскольку МR не зависит от характеристик газа, то ее называют универсальной газовой постоянной. Следовательно pV_М  = 8314,4 Т;  pV  =  8314,4 nТ, используют чаще, где n - число киломолей газа.

До недавнего времени назывались первой модификацией при отнесении nк  некоторйо фиксированной доле 1 К/моль, а именно к одному “ нормальному кубическому метру “ - количество газа, занимающее  при  нулевом  объеме, равной  1 м³.  Следовательно      1м_о³  = 1/22,4;  К/моль = М/22,4.

1м_о³  является величиной неопределенной пока не заданы p и T газа. R  может быть определена =  8314,4/М;  RM = 8314,4.

(u / T)_p = R/P; (dp / T) _u =R/u; (du / dp)_Т = - RT/p².