Алгоритм кратной синхронизации для регулирования расфазировки роторов виброустановки с учетом динамики привода, страница 17

Во многих практических задачах множества U_i, X_i, Y_i, - конечномерные векторные пространства, и системы могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. Сначала рассмотрим простейший случай не связанных между собой систем без входов:

                                                 (3.25)

где - некоторые векторные поля. Иногда синхронизация может происходить в не связанных между собой системах. (3.25) (например, все точные часы синхронизируются в смысле частоты). Этот случай будет называться естественной синхронизацией. Однако, более важным и интересным представляется случай синхронизации связанных между собой систем. В этом случае модели систем дополнены связями и выглядят следующим образом;

                                       (3.26)

где векторное поле  описывает динамику связанной системы,  -векторные поля, описывающие связи. Например, при синхронизации генераторов гидроэлектростанции данная связь может быть вызвана обычным электрическим зарядом.

Замечательное и широко используемое наблюдение состоит в том, что синхронизация может присутствовать, т.е. тождество (3.21) может выполняться в связанной системе (3.26) без какого-либо внешнего воздействия, т.е. без входов.  В этом случае система (3.26) называется самосинхронизированной по отношению к функционалам  и показателям . Аналогичные определения представлены ниже для приближенной и асимптотической самосинхронизации. Обычно в этом случае системы автономны.

Во многих прикладных задачах важно, чтобы связи между системами  были слабыми, например, когда (3.26) может быть представлено как

                                         (3.27)

где μ - малый параметр. Следовательно, особенный интерес представляет нахождение условий самосинхронизации в системах со слабыми взаимодействиями. Подобные условия найдены для широкого класса динамических систем (3.27), в основном, с периодическими по времени функциями  в правых частях.

Однако, во многих случаях самосинхронизация не наблюдается, и встает вопрос: возможно ли приложить воздействие, т.е. управление к системе таким образом, чтобы достигалась цель (3.22) или (3.23). Вышеизложенные определения все еще не содержат возможность управления системой. Предположим для простоты, что все - гладкие конечномерные системы, описываемые дифференциальными уравнениями с конечномерным входом, т.е.

                                     (3.28)

где - вход (переменная управления), который имеет физическое значение.

Задача управляемой синхронизации по отношению к функционалам соответственно, управляемой асимптотической синхронизации по отношению к функционалам  состоит в нахождении управления и как функции обратной связи по состояниям и времени при условии, что (3.21) (соответственно, (3.22), (3.23)) выполнено для замкнутой системы. Задача управляемой синхронизации по отношению к индексам формулируется аналогично.

Иногда цель может быть обеспечена без измерения каких-либо переменных системы, например, периодическим во времени возбуждением. В этом случае функция управления и не зависит от состояния системы, и задача нахождения такого управления называется задачей разомкнутой управляемой (асимптотической) синхронизации. Однако, наиболее мощный подход допускает возможность измерения состояний или некоторой функции переменных системы. Нахождение функции управления в этом случае называется задачей замкнутой, управляемой (асимптотической) синхронизации или (асимптотической) синхронизации с обратной связью,

Простейшей формой обратной связи является статическая обратная связь, где уравнение регулятора выглядит следующим образом:

                                                             (3.29)

для некоторой функции

Более общей формой является динамическая обратная связь по состоянию:

                                                          (3.30)

                                                         (3.31)

где:

Теперь задача синхронизации с обратной связью по состоянию может быть представлена как нахождение закона управления (3.29) или (3.30), (3.31)), обеспечивающего асимптотическую синхронизацию (3.23) в замкнутой системе (3.28), (3.29) (или. соответственно, (3.28), (3.30), (3.31)).