2.7. Функции от многомерных случайных величин
Рассмотрим двумерную случайную величину и однозначную числовую функцию . Определим новую случайную величину по следующему правилу:
, которую естественно назвать функцией от случайных величин и , т.е. .
2.7.1. Функции от дискретных случайных величин
Если случайная величина - дискретная, то случайная величина тоже будет дискретной, так как множество её значений не "больше", чем множество возможных значений случайной величины . Причём закон распределения случайной величины будет иметь вид:
… |
||||
… |
.
Если появляются одинаковые значения в первой строке, то соответствующие столбцы таблицы заменяются одним и возможному значению приписывается суммарная вероятность. Так как, если , то
.
2.7.2. Функции от непрерывных случайных величин
Для непрерывной двумерной случайной величины с плотностью распределения вероятностей функция распределения, как и ранее, определяется равенством
, (2.18)
где область, определяемая неравенством .
Композицией случайных величин называется случайная величина, равная сумме этих величин.
Если композиция случайных величин, распределённых по одному и тому же закону распределения, является случайной величиной, распределённой по тому же закону, то закон распределения называется композиционно устойчивым.
Пусть – независимые случайные величины, рассмотрим случайную величину (используем функцию ).
Найдём функцию распределения случайной величины .
По формуле (2.18) (рис. 2.5):
.
– выражение плотности распределения вероятностей случайной величины . Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.19), называется сверткой функций и обозначается .
2.8. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Пусть – дискретная случайная величина, заданная законом распределения.
Математическим ожиданием случайной величины называется число, равное сумме попарных произведений возможных значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения принимаются. Обозначается: .
. (2.20)
Выясним смысл этой характеристики. Пусть в N испытаниях случайная величина принимает значение раз, раз, …, раз. Найдём сумму всех значений, принимаемых случайной величиной в этих испытаниях , а затем найдём среднее арифметическое
.
При : (см. статистическое определение вероятности), следовательно при .
Таким образом, математическое ожидание приближенно равно (и тем точнее, чем больше число испытаний) среднему значению, принимаемому случайной величиной.
Свойства :
. , с– const.
Доказательство. Постоянную с можно рассматривать как дискретную случайную величину с единственным возможным значением, которое принимается с вероятностью равной 1. Поэтому по формуле (2.20) .
. (используемая функция ).
Доказательство. По формуле (2.20): .
. (используемая функция ).
Доказательство. По формуле (2.20):
.
. Если – независимые случайные величины, то
.
Доказательство. Так как – независимые случайные величины, то
Величина, характеризующая разброс возможных значений случайной величины относительно среднего значения, называется дисперсией.
Обозначается: .
По определению дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания :
,
(используемая функция .
Используя свойства математического ожидания, получаем формулу
(2.21)
Свойства дисперсии:
. .
Доказательство. Используя формулу (2.21), получаем:
.
. .
Доказательство. Используя формулу (2.21), можем записать:
.
. Если – независимые случайные величины, то
.
Доказательство. Используем формулу (2.21):
=
40 .
Доказательство. Используем формулу (2.21):
.
Нетрудно видеть, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для практических расчетов удобно иметь меру разброса, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. В качестве такой меры используется среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии, т.е. по определению .
2.8.1. Числовые характеристики основных законов распределения
Равномерное распределение
1 |
2 |
3 |
… |
n |
|
P |
… |
(использована формула суммы n членов арифметической прогрессии).
, .
(использована формула суммы квадратов первых nнатуральных чисел).
Биноминальное распределение
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.