Условное математическое ожидание зависит от того, какое из возможных значений принимает случайная величина , т. е. от , следовательно – случайная величина непрерывного типа.
Функция называется регрессией случайной величины на случайную величину .
Свойства условного математического ожидания:
.
.
.
Если – условно независимые величины, относительно случайной величины (это означает, что и независимы при каждом значении случайной величины ), тогда
.
.
Доказательство. Рассмотрим, например, дискретный случай.По определению
.
.
Доказательство. Для любого фиксированного номера возможного значения j можем записать
.
Так как – произвольно, то получаем доказываемое свойство.
Если , тогда
.
Доказательство. Рассмотрим опять дискретный случай.Пусть – возможные значения случайной величины , тогда
=
.
2.11.4. Линейная регрессия
Во многих случаях регрессия случайной величины на случайную величину , т.е. функция близка к линейной, поэтому зависимость можно заменить линейной зависимостью .
Возникает вопрос: как выразить параметры этой зависимостиa и ?
Для получения параметров используется принцип метода наименьших квадратов, т. е. a и выбираются из условия
Откуда, записывая необходимое условие существования экстремума, получаем систему уравнений относительно параметров
,
, или .
Решая эту систему, например по формулам Крамера, находим:
,
,
.
Из второго уравнения системы
.
Таким образом, уравнение линейной регрессии случайной величины на случайную величину будет иметь вид:
. (2.25)
Величина называется коэффициентом линейной регрессии.
Аналогично можно получить уравнение линейной регрессии случайной величины на случайную величину , оно имеет вид:
, где .
2.12. Закон больших чисел
Ранее было отмечено, что нельзя предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина, так как мы не можем учесть все обстоятельства, от которых зависит это событие. Однако в некоторых случаях можно указать вероятность такого события. События, вероятность которых мала, редко происходят, а события, вероятность которых близка к единице, происходят почти обязательно.
Принцип, заключающийся в том, что маловероятные события на практике рассматриваются как невозможные, носит название "принципа практической невозможности маловероятных событий". События, вероятности которых близки к единице, считаются практически достоверными (принцип практической достоверности).
Следовательно, одной из задач теории вероятностей является установление закономерностей, происходящими с вероятностями, близкими к единице или к нулю. Всякое утверждение, устанавливающее отмеченные закономерности, называется законом больших чисел.
Лемма Маркова. Пусть – случайная величина, принимающая лишь неотрицательные значения, тогда справедливо неравенство:
. (2.26)
Доказательство. Это неравенство справедливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Рассмотрим, для определенности, случай непрерывной случайной величины.
.
Оба слагаемых в правой части неотрицательны, поэтому
, но теперь , следовательно
, отсюда, так как , получаем неравенство (2.26).
Неравенство Чебышева. справедливо неравенство:
. (2.27)
Это неравенство справедливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин.
Так как события и несовместны и противоположны, то .
Подставляя вероятность , выраженную через вероятность противоположного события, в левую часть неравенства (2.27), получаем эквивалентную запись неравенства Чебышева
. (2.28)
Доказательство. Для определенности пусть - дискретная случайная величина. Рассмотрим и оценим дисперсию этой случайной величины.
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.