Функции от многомерных случайных величин. Дополнительные числовые характеристики случайных величин. Распределения, связанные с нормальным распределением, страница 6

, последнее равенство есть условие нормировки плотности распределения вероятностей.

2⁰. Если , то .

Доказательство. Действительно

.

3⁰. Если случайные величины  и  – независимы, то

.

Доказательство. Так как  – независимые случайные величины, то и функции  тоже будут независимыми случайными величинами, следовательно, по свойствам математического ожидания:

.

4⁰. Если существует начальный момент порядка n для случайной величины , то

: 

Доказательство. Пусть  – непрерывная случайная величина, тогда по условию существует начальный момент порядка n

,   .

Существование  позволяет  дифференцировать правую часть равенства по  как по параметру:

Þ .

При изучении закона больших чисел было показано, что

.

Требуется определить закон распределения . Если  одинаково распределены, то

.

Пусть  – последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин.

Рассмотрим нормированную и центрированную случайную величину

,   здесь   ,   .

Центральная предельная теорема. При  справедливо соотношение:

, где  – функция распределения стандартного нормального закона.

Доказательство.

.  , 

Þ , где  ,   ,   .

Обозначим характеристическую функцию случайной величины  через , а случайной величины  через , тогда

.

Найдём :

.

Запишем формулу Маклорена второго порядка для функции , , где .

;   ,   ,

,

.

Þ , по определению :  , тогда из последнего соотношения получаем

  

– характеристическая функция стандартного нормального закона распределения,      значит  – распределена по стандартному нормальному закону.

2.14*. Распределения, связанные с нормальным распределением

Рассмотрим несколько распределений, которые широко используются в математической статистике (в следующей главе курса).

2.14.1. Распределение  (хи-квадрат)

Рассмотрим n независимых случайных величин, распределённых по стандартному нормальному закону, т.е. с параметрами . Построим новую случайную величину , определив ее с помощью равенства

.

Распределение этой случайной величины носит название -распределения (хи-квадрат) с n степенями свободы. Получим закон распределения этой случайной величины. При n = 1, получаем ,

,

.

Методом математической индукции покажем, что

.

При  равенство получено.

Предполагаем, что при произвольном n эта формула справедлива, покажем, что она справедлива и при

.

Постоянную  найдём из условия нормировки

  .

Таким образом, плотность распределения вероятностей случайной величины хи-квадрат с n степенями свободы имеет вид

.

В математической статистике используется следующий факт.

Если  – независимые одинаково распределенные случайные величины, подчиненные нормальному закону с одинаковыми параметрами: математическим ожиданием   m, дисперсией  , тогда случайная величина

, где , имеет -распределение, но с n – 1 степенями свободы.

2.14.2. Распределение Стьюдента (t-распределение)

Пусть  и  – независимые случайные величины, причем  – случайная величина, распределённая по стандартному нормальному закону,  – случайная величина с законом распределения хи-квадрат с n степенями свободы. Распределение случайной величины

называется распределением Стьюдента (t-распределением) с n степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента имеет вид

.

В математической статистике используется следующий факт.

Если  – независимые одинаково распределенные случайные величины, подчиненные нормальному закону с математическим ожиданием m, то случайные величины  и  также независимы, а случайная величина

имеет распределение Стьюдента с n – 1 степенями свободы.

2.14.3. Распределение Фишера (F-распределение)

Пусть  и  – две независимые случайные величины, имеющие -распределение с m и n степенями свободы соответственно. Распределение случайной величины

носит название распределения Фишера (F-распределение) с параметрами m и n.

Распределение Фишера имеет плотность

.