Функции от многомерных случайных величин. Дополнительные числовые характеристики случайных величин. Распределения, связанные с нормальным распределением, страница 5

Отбросим в сумме часть слагаемых, для которых . В результате получим:

,  (2.29)

где . В правой части неравенства (2.29)

.

Таким образом,  .

Разделив обе части этого неравенства на , получим неравенство (2.28).

С помощью аналогичных рассуждений неравенство Чебышева доказывается и для непрерывных случайных величин.

Теорема Чебышева. Пусть  - последовательность независимых случайных величин с равномерно ограниченной дисперсией, т.е.

, тогда , при  выполняется равенство:

.                                 (2.30)

Доказательство. Рассмотрим случайную величину  – среднее арифметическое случайных величин , тогда  – среднее арифметическое математических ожиданий. Запишем для этой случайной величины неравенство Чебышева. Так как  независимые случайные величины, то

   .

Переходя к пределу при  (второе слагаемое при этом стремится к нулю), получаем

, но вероятность любого случайного события не может быть больше единицы, следовательно, справедливо равенство (2.30).

Смысл теоремы заключается в том, что среднее арифметическое большого числа случайных величин утрачивает случайный характер и стремится к числу, равному среднему арифметическому математических ожиданий этих случайных величин.

Частный случай теоремы Чебышева – теорема Бернулли.

Теорема Бернулли. В последовательности из n независимых испытаний

: , где ,  m – число появлений события  в n испытаниях, т. е.  – относительная частота появления события .

Доказательство. Рассмотрим случайную величину

, где  – число появлений события в -м испытании. Законы распределения случайных величин  одинаковы и имеют вид:

следовательно:  .

В этом случае ;  , и записывая теорему Чебышева, получаем требуемый результат.

Пусть имеется последовательность случайных величин  и некоторое неслучайное число .

Если : , то говорят, что последовательность  по вероятности сходится к . При этом используются обозначения:

   или   .

2.13*. Характеристическая функция и её свойства

Рассмотрим произвольную случайную величину .

Характеристической функцией этой случайной величины называется математическое ожидание функции  (где  – мнимая единица, ).

Обозначается: .

Таким образом,

.

Для дискретной случайной величины

                                                     (2.31)

или                                        , здесь использована формула Эйлера .

Для непрерывной случайной величины

                                                   (2.32)

или                                      .

Формула (2.32) представляет собой с точностью до постоянного множителя  преобразование Фурье функции . Если записать обратное преобразование Фурье, то получим, что

или для любых точек  и  непрерывности плотности распределения:

.

Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между характеристическими функциями случайных величин и их плотностями распределения вероятностей (функциями распределений для дискретных случайных величин) или, что то же самое, характеристическая функция однозначно определяет случайную величину.

Простейшие свойства характеристической функции

1⁰.  – непрерывная функция, .

Доказательство. Непрерывность  следует для дискретной случайной величины с бесконечным множеством значений из равномерной сходимости ряда

.

Этот ряд сходится равномерно, так как , а, как известно, равномерно сходящийся ряд из непрерывных функций является непрерывной функцией.

Если дискретная случайная величина имеет конечное множество значений, то непрерывность функции  очевидна. Она непрерывна как сумма конечного числа непрерывных функций.

Непрерывность функции  для непрерывной случайной величины следует из равномерной сходимости интеграла, стоящего в правой части равенства (2.31).

Для дискретной случайной величины:

.

Для непрерывной случайной величины: