Функции от многомерных случайных величин. Дополнительные числовые характеристики случайных величин. Распределения, связанные с нормальным распределением

2.7. Функции от многомерных случайных величин

Рассмотрим двумерную случайную величину  и однозначную числовую функцию . Определим новую случайную величину  по следующему правилу:

, которую естественно назвать функцией от случайных величин  и , т.е. .

2.7.1. Функции от дискретных случайных величин

Если случайная величина  - дискретная, то случайная величина  тоже будет дискретной, так как множество её значений не "больше", чем множество возможных значений случайной величины . Причём закон распределения случайной величины будет иметь вид:

.

Если появляются одинаковые значения в первой строке, то соответствующие столбцы таблицы заменяются одним и возможному значению приписывается суммарная вероятность. Так как, если , то

    .

2.7.2. Функции от непрерывных случайных величин

Для непрерывной двумерной случайной величины  с плотностью распределения вероятностей  функция распределения, как и ранее, определяется равенством

,            (2.18)

где  область, определяемая неравенством .

Композицией случайных величин называется случайная величина, равная сумме этих величин.

Если композиция случайных величин, распределённых по одному и тому же закону распределения, является случайной величиной, распределённой по тому же закону, то закон распределения называется композиционно устойчивым.

Пусть  – независимые случайные величины, рассмотрим случайную величину  (используем функцию ).

Найдём функцию распределения  случайной величины .

По формуле (2.18) (рис. 2.5):

.

По определению:

  (2.19)

– выражение плотности распределения вероятностей случайной величины . Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.19), называется сверткой функций и обозначается .

2.8. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пусть  – дискретная случайная величина, заданная законом распределения.

Математическим ожиданием случайной величины  называется число, равное сумме попарных произведений возможных значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения принимаются. Обозначается: .

            Таким образом, по определению

.                                                       (2.20)

Выясним смысл этой характеристики. Пусть в N испытаниях случайная величина  принимает значение  раз,  раз, …,  раз. Найдём сумму всех значений, принимаемых случайной величиной в этих испытаниях , а затем найдём среднее арифметическое

.

При :  (см. статистическое определение вероятности), следовательно при .

Таким образом, математическое ожидание  приближенно равно (и тем точнее, чем больше число испытаний) среднему значению, принимаемому случайной величиной.

Свойства :

. , с– const.

Доказательство. Постоянную с можно рассматривать как дискретную случайную величину с единственным возможным значением, которое принимается с вероятностью равной 1. Поэтому по формуле (2.20) .

.  (используемая функция ).

Доказательство. По формуле (2.20):  .

.  (используемая функция  ).

Доказательство. По формуле (2.20):

.

. Если  – независимые случайные величины, то

.

Доказательство. Так как  – независимые случайные величины, то

Величина, характеризующая разброс возможных значений случайной величины относительно среднего значения, называется дисперсией.

Обозначается: .

По определению дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания :

,

(используемая функция .

Используя свойства математического ожидания, получаем формулу

                                              (2.21)

Свойства дисперсии:

. .

Доказательство. Используя формулу (2.21), получаем:

.

. .

Доказательство. Используя формулу (2.21), можем записать:

.

. Если  – независимые случайные величины, то

.

Доказательство. Используем формулу (2.21):

=

4⁰ .

Доказательство. Используем формулу (2.21):

.

Нетрудно видеть, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для практических расчетов удобно иметь меру разброса, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. В качестве такой меры используется среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением  случайной величины  называется корень квадратный из дисперсии, т.е. по определению  .

2.8.1. Числовые характеристики основных законов распределения

Равномерное распределение

(использована формула суммы n членов арифметической прогрессии).

,  .

(использована формула суммы квадратов первых nнатуральных чисел).

Биноминальное распределение

.