Устойчивость и синтез. Описание системы. Наблюдаемость и управляемость.Устойчивость систем с обратной связью. Синтез компенсатора. Синтез системы с заданным знаменателем. Асимптотическое отслеживание и устранение возмущений

Страницы работы

Содержание работы

4. УСТОЙЧИВОСТЬ И СИНТЕЗ

Перед рассмотрением ключевого вопроса данного курса – задачи синтеза – даются уточнения понятия «полного» описания системы и его связи с управляемостью и наблюдаемостью, а также уточняется понятие устойчивости как для одноканальных, так  для многоканальных систем. В синтезе особо выделяется задача обеспечения заданного «знаменателя» системы. Подробно исследуются условия « развязывания» каналов.

4.1. Описание системы. Наблюдаемость и управляемость

Определение 4.1. Система полностью списывается (completly characterized) ее матричной передаточной функцией, если и только если соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие систему, управляемые и наблюдаемые.

Теорема 4.1. Рассмотрим две системы S1 и S2, полностью описываемые их правильными матричными передаточными функциями G1(s) и G2(s). Любое соединение S1 и S2, полностью описывается ее результирующей передаточной функцией G(s), если и только если

.

Здесь  - степень характеристического полинома G(s).

Теорема 4.2. Рассмотрим две одноканальные системы S1 и S2, полностью описываемые их правильными рациональными  передаточными функциями g1(s) и g2(s). Справедливы следующие утверждения:

1.  Параллельное соединение S1 и S2 полностью описывается , если и только если g1(s) и g2(s) не имеют общих полюсов.

2.  Последовательное соединение S1 и S2 полностью описывается , если и только если не происходит сокращения полюсов и нулей у  g1(s) и g2(s).

3.  Соединение типа обратной связи S1 и S2 полностью описывается , если и только если нет полюсов g2(s), сокращающихся с нулями g1(s).

Теорема 4.3. Рассмотрим две системы, полностью описываемые их передаточными матрицами G1(s) и G2(s). Пусть  будут взаимно простым разложениями Gi(s). Тогда параллельное соединение этих двух систем управляемо, если и только если Dri(s) и Dr2(s) взаимно простые слева. Параллельное соединение наблюдаемо, если и только если Dli(s) и Dl2(s) взаимно простые справа.

Теорема 4.4. Рассмотрим две системы, полностью описываемые их передаточными матрицами G1(s) и G2(s). Пусть  будут взаимно простыми разложениями Gi(s). Тогда последовательное соединение этих двух систем так, что S1 “следует за” S2 (S12 = S21 ), управляемо, если и только если любая из следующих трех пар полиномиальных матриц

Dri(s) и Dr2(s)  Dli(s)Dr2(s) и Dl1(s), Dl2(s)Dr1(s) и Dl2(s)

взаимно простая слева. Последовательное соединение наблюдаемо, если и только если любая из следующих трех пар полиномиальных матриц

Dli(s) и Nl2(s), Dl1(s)Dr2(s) и Nr2(s),  Nl2(s)Nr1(s) и Dr1(s) взаимно простые справа.

Рассмотрим систему типа обратной связи:

U1=U-y2, y1=S1U1, y2=S2U2, y=y1, передаточная функция которой равна , где S21=S1S2- “системаS2 следует за S1”.

Теорема 4.5.  Рассмотрим две системы, полностью описываемые их передаточными матрицами G1(s) и G2(s). Предположим, что. Тогда вся система SI управляема (наблюдаема), если и только если S12 управляема (S21 наблюдаема).

Напомним, что через обозначаем характеристический полином G(s), т.е. для неприводимого представления G(s) справедливо равенство =”знаменатель” G(s), или

.

Теорема 4.6. Рассмотрим систему

U1=r1-y2, U1=r2+y1,    y1=G1(s)U1,  y2=G2(s)U2, которую можно записать в матричном виде

в предположении, что . Тогда имеем:

где «»» обозначает эквивалентность полиномов по модулю ненулевого постоянного множителя.

4.2. Устойчивость систем с обратной связью

Вначале рассмотрим условия устойчивости одноканальных систем, а затем перейдем к многоканальным системам. Ниже используется термин «устойчивый по входу- выходу» вместо английского термина «BIBO atable» - «ограниченный по входу- выходу».

Теорема 4.6. Одноканальная система, описываемая правильной рациональной функцией g(s), устойчива если и только если все полюса g(s) находятся в открытой левой полуплоскости плоскости s, или вся полоса имеет отрицательную левую часть.


Теорема 4.7. Рассмотрим одноканальную систему

Y=g1(s)U,    U=r-g2(s)y.

Предположим, что звенья в прямом и обратном канале описываются их правильными  передаточными функциями g1(s) и g2(s). Также предполагаем, что . Пусть . Тогда система автоматически устойчива, если и только если все корни имеют отрицательную вещественную часть.

Это условие достаточное, но не необходимое для устойчивости по входу-выходу.

Следствие 4.1. Рассмотрим одноканальную систему

Y=g1(s)U,    U=r-y.

Предполагается, что звено в прямом канале S1 полностью описывается ее правильной передаточной функцией  и . Тогда система с обратной связью ограничена по входу – выходу и асимптотически устойчива, если и только если все нули  или эквивалентно все корни  имеют отрицательную вещественную часть.

Теорема 4.8. Многоканальная система, описываемая y(s)=G(s)U(s), где G(s) правильная рациональная матрица, устойчива по входу- выходу, если и только если все полюса каждого элемента G(s) имеют отрицательную вещественную часть.

Теорема 4.9. Каждое состояние равновесия устойчиво в смысле Ляпунова, если и только если все собственные значения А имеют неположительные (неотрицательные ли нулевые) вещественные части, и корни с нулевой вещественной частью являются различными корнями минимального полинома А.

Теорема 4.10. Ненулевое состояние асимптотически устойчиво, если  только если все собственные значения А имеют отрицательную вещественную часть.

Пример 4.1. Рассмотрим систему, описывающуюся следующими динамическими уравнениями:

  .

Ее передаточная функция

.

Следовательно, реакция системы при нулевом начальном состоянии динамических уравнений устойчива по входу- выходу. Однако нулевое состояние не является асимптотически устойчивым, так как имеются собственные значения с положительной вещественной частью.

Похожие материалы

Информация о работе