Полиномиальные матрицы. Взаимно простые полиномы. Матрица Сильвестра. Взаимно простые полиномиальные матрицы. Строчное и столбцовое приведение полиномиальных матриц

2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

В этом разделе рассмотрим взаимно простые полиномы, взаимно простые полиномиальные матрицы и  представление полиномиальных матриц через взаимно простые разложения. Взаимная простота в матричном случае в некотором смысле эквивалентна  наблюдаемости и управляемости динамических систем.

2.1. Взаимно простые полиномы. Матрица Сильвестра

Пусть d(s) будет полиномом с вещественными коэффициентами и переменной s: d(s)= d_nsⁿ+d_n-1s^n-1+…+d₁s+d₀. Полином d(s) называют полином степени (degree) n₁ если d_n≠0. Коэффициент d_n, соответствующий старшей степени s, называют ведущим коэффициентом (leading coefficient). Полином называют нормированным (monic), если его ведущий коэффициент равен единице.

Теорема 2.1. Пусть d(s) и n(s)  два полинома и пусть d(s) ≠ 0. Тогда существуют единственные полиномы q(s) и r(s) такие, что

n(s)=q(s)d(s)+r(s),    deg r(s)< degd(s).

Определение 2.1. Полином r(s) является наибольшим общим делителем (greatest common divisor) d(s) и n(s), если r(s) является общим делителем d(s) и n(s), и делится на каждый общий делитель d(s) и n(s). Если  наибольший общий делитель d(s) и n(s) есть нулевая константа, то d(s) и n(s) называю относительно простыми или взаимно простыми (relatively prime или comprime).

Теорема 2.2. Любой наибольший общий делитель полиномов d(s) и n(s) может быть выражен в форме

r(s)=x(s)d(s)+y(s)n(s), где x(s) и y(s) полиномы.

Теорема 2.3. Рассмотрим два полинома d(s) ≠ 0 и n(s).Тогда d(s) и n(s) взаимно простые, если и только если имеет место одно из условий:

1.  Для каждого s  из ℂ матрица 2*1  имеет ранг 1.

2.  Существуют два полинома x(s) и y(s) такие, что

x(s)d(s)+y(s)n(s)=1.

3.  Но существуют полиномы a(s) и b(s), таких что

n(s)/d(s)=b(s)/a(s)

или эквивалентно

                        (2.1)

и deg a(s )< deg d(s).

Определение 2.2. Матрицей Сильвестра (Sylvester matrix) или результатом (resultant) для двух полиномов

d(s) =  d₀ + d₁s + … + d_nsⁿ,   n(s) = n₀ + n₁s +…+ n_ms^m.

где d_n ≠ 0,  n_m ≠ 0, называется квадратная матрица  размером n+m

s≜

Решение уравнения (2.1) состоит в следующем. Пусть

d(s) =  d₀ + d₁s + … + d_nsⁿ, ( d_n ≠ 0);                               (2.2)

                                  n(s) = n₀ + n₁s + …+ n_ms^m ,    (n_m ≠ 0);                             (2.3)

и пусть

a(s)=a₀+a₁s+…+a_n-1s^n-1;                                        (2.4)

                                           b(s)=b₀+b₁s+…+b_m-1s^m-1.                                         (2.5)

По (2.2) – (2.5) составляется матрица  Сильвестра. Справедливо.

Следствие 2.1. Полиномы  d(s) и n(s) взаимно простые, если и только если матрица Сильвестра несингулярная.

Пусть заданы два полинома

d(s) =  d₀ + d₁s + … + d_nsⁿ,

n(s) = n₀ + n₁s + …+ n_nsⁿ,

где d_n ≠ 0. Пусть два полинома a(s) и b(s) определены так:

a(s)=a₀+a₁s+…+a_кs^к;

b(s)=b₀+b₁s+…+b_кs^к.

По уравнению –b(s)d(s)+a(s)n(s)=0 можем составить матричное уравнение

,                               (2.6)

где матрица s_k размерами 2(k+1)*(n+k+1):

                       (2.7)

Теорема 2.4. Рассмотрим  два полинома  d(s) и n(s) со степенями                  degn(s )<degd(s)= n. a(s) и b(s), вычисленные по (2.4) посредством использования первых  линейно зависимых строк матрицы s_к, оказываются взаимно простыми.

Следствие 2.2. Два полинома d(s) и n(s) со степенями degn(s ) < degd(s) = n взаимно простые, если и только если квадратная матрица s_к-1 порядка 2n несингулярная или если и только если общее число линейно независимых n –строк в s_n-1 равно n.

Пример 2.1. Рассмотрим полиномы d(s) = -2s⁴+ 2s³-s²- s+1 и n(s)=s³+2s²-2s+3. Формируем результат:

.                          (2.8)

Для поиска линейно зависимых строк S используем строчный поисковой алгоритм. Ведущие элементы выделены рамочками. Результат следующий:

≜.

В матрице  пять ненулевых строк, следовательно, результат S имеет ранг пять и вырожден. Таким образом, для первой нулевой строки  мы можем получить из первых шести строк F посредством рекурсивной формулы (1.9), уравнение

.

Используя (2.4), (2.5) и (2.6), получаем:

a(s) = s² -0.5,       b(s) = -0.5s -1.5

и  n(s)/d(s) = b(s)/a(s) = (s+3)/(-2s² + 1)

Здесь d(s) и n(s) взаимно простые полиномы.

2.2. Взаимно простые полиномиальные матрицы

Матрицу с полиномиальными элементами называют полиномиальной матрицей (polynomial matrix). Аналогично матрицам  с элементами из ℝ или ℂ мы можем ввести следующие элементарные операции над A(s):

1.Умножение строки или столбца на ненулевое  вещественное или комплексное число.

2.Перестоновка любых двух строк или столбцов.

3.Добавление произведения строки или столбца на полином к другой строке или столбцу.