Булевы функции. Основные формулы булевой алгебры. Аналитическая запись булевых функций в булевом базисе. Дешифраторы. Мультиплексоры, страница 8

Таким образом, алгоритм перехода от табличного задания функции к аналитической записи в базисе Пирса таков:

1) выбрать в таблице все наборы аргументов, на которых функция равна нулю;

2) аргументы каждого из этих наборов объединяются функцией Пирса. Причем, если аргумент равен 1, то он записывается с отрицанием; если – 0, то без отрицания;

3) все полученные составляющие (термы) объединяются функцией Пирса.

Пример:

Выбираем наборы 010, 101, 111;

, , ;

3) .

По аналитической записи функции можно нарисовать схему её реализующую:

Запись функций в базисе Шеффера.

Конституента нуля для набора  записывается так:

. Действительно, в силу определения конституенты нуля она равна нулю на этом наборе, следовательно все слагаемые в конституенте должны быть равны нулю. Отсюда следует правило, если в наборе аргумент равен единице, то в конституенту нуля он записывается с отрицанием, если нулю – без отрицания.

Известно, что любую функцию можно записать в совершенной конъюнктивной нормальной форме в виде произведения конституент нуля. Однако ее можно записать и  как инверсию функции  значения которой противоположны исходной функции:

Символы  () обозначают,  что конъюнкциями связываются конституенты нуля наборов на которых исходная функция равна нулю (единице). Действительно, если на наборе  функция  равна единице, то можно указать для этого набора конституенту нуля равную нулю на этом наборе и единице – на остальных наборах. Конъюнкция этих конституент представляет собой новую функцию   равную нулю на тех наборах, где функция  равна единице, т.е.  и . Полученное выражение – это функция Шеффера над конституентами нуля: . Для получения окончательной записи функции преобразуем конституенты нуля:

 Окончательное представление функции: . Следовательно, алгоритм перехода от таблицы истинности к аналитической записи в базисе Шеффера таков:

Выбрать в таблице все наборы аргументов на которых  функция равна единице;

Аргументы каждого из этих наборов связать операцией Шеффера, причем, если аргумент равен 1, то он записывается без отрицания, если нулю – с отрицанием.

Все полученные выражения также связываются операцией Шеффера.

Пример:

000, 010, 111;

, , ;

Минимизация булевых функций.

Одну и ту же булеву функцию можно представить в виде различных логических выражений тождественных друг другу. Практический интерес имеют выражения, содержащие наименьшее число букв, т. к. они позволяют упростить устройство, реализующее эту функцию. Такие функции называют минимальными. Поскольку в настоящее время используются три базиса: булев, Пирса и Шеффера, то будем изучать методы минимизации функций в булевом базисе, когда уравнения представляются в минимальных дизъюнктивных нормальных формах (МДНФ); в булевом базисе, когда уравнения записываются в минимальных конъюнктивных нормальных формах (МКНФ); в базисе Пирса и базисе Шеффера.