Расчет трёхшарнирной арки (пролет - 32 м, стрела подъема - 8 м)

РГР № 2.  Расчет трёхшарнирной арки

Исходные  данные

Расчетная  схема  арки  приведена  на  рисунке 1.  Пролет l = 32 м, стрела подъема f = 8 м, очертание оси – квадратная парабола , внешние нагрузки: q = 9 кН/м, P = 60 кН; размеры поперечного сечения: высота h = 1 м, ширина b = 0,25 м; материал арки – сосна; заданное сечение для построения линий влияния – 3.

Рисунок 1

1 Геометрические параметры оси арки

Положение k-го сечения (k = 0, …, 8) характеризуется тремя параметрами: абсциссой  ,  ординатой  , углом между касательной к оси арки и осью z j_{k .}

Для вычисления j_k продифференцируем функцию :

. Отсюда

Рассчитанные параметры арки записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Геометрические параметры оси арки

№ сечения	zk, м	yk, м	tg jk	jk, рад	sin jk	cos jk
1	2	3	4	5	6	7
0 (A)	0	0	1,00	0,785	0,707	0,707
1	4	3,5	0,75	0,644	0,600	0,800
2	8	6,0	0,50	0,464	0,447	0,894
3	12	7,5	0,25	0,245	0,243	0,970
4 (C)	16	8,0	0	0	0	1
5	20	7,5	–0,25	–0,245	–0,243	0,970
6	24	6,0	–0,50	–0,464	–0,447	0,894
7	28	3,5	–0,75	–0,644	–0,600	0,800
8 (B)	32	0	–1,00	–0,785	–0,707	0,707

2 Построение эпюр внутренних усилий от неподвижной нагрузки

2.1 Определение опорных реакций и построение эпюр внутренних усилий в соответствующей балке

Соответствующая рассматриваемой арке балка – это простая статически определимая балка, имеющая тот же пролет и схему нагружения (рисунок 2, а).

Опорные реакции балки V_A^б, V_B^б определяем из уравнений статики:

,  , ,  , отсюда   ,

.

Проверка: ,  .

Вычисляем внутренние поперечные силы Q_k^б и изгибающие моменты М_k^б  в k-ом сечении балки (k = 0, …, 8):

Q₀^б = V_A^б = 189 кН, М₀^б = 0;

Q₁^б = V_A^б – qz₁ = 189 – 9 × 4 = 153 кН,

М₁^б = V_A^бz₁ – qz₁²/2 = 189 × 4 – 9 × 4²/2 = 684 кН × м;

Q₂^{б лев}  = V_A^б – qz₂ = 189 – 9 × 8 = 117 кН (левее силы Р),

Q₂^{б прав} = V_A^б – qz₂ – Р = 189 – 9 × 8 – 60 = 57 кН (правее силы Р),

М₂^б = V_A^бz₂ – qz₂²/2 = 189 × 8 – 9 × 8²/2 = 1224 кН × м;

Q₃^б = – V_В^б + q(l – z₃) = – 159 + 9 × 20 = 21 кН,

М₃^б = V_B^б(l – z₃) – q(l – z₃)²/2 = 159 × 20 – 9 × 20²/2 = 1380 кН × м;

Q₄^б = – V_В^б + q(l – z₄) = – 159 + 9 × 16 = – 15 кН,

М₄^б = V_B^б(l – z₄) – q(l – z₄)²/2 = 159 × 16 – 9 × 16²/2 = 1392 кН × м;

Q₅^б = – V_В^б + q(l – z₅) = – 159 + 9 × 12 = – 51 кН,

М₅^б = V_B^б(l – z₅) – q(l – z₅)²/2 = 159 × 12 – 9 × 12²/2 = 1260 кН × м;

Q₆^б = – V_В^б + q(l – z₆) = – 159 + 9 × 8 = – 87 кН,

М₆^б = V_B^б(l – z₆) – q(l – z₆)²/2 = 159 × 8 – 9 × 8²/2 = 984 кН × м;

Q₇^б = – V_В^б + q(l – z₇) = – 159 + 9 × 4 = – 123 кН,

М₇^б = V_B^б(l – z₇) – q(l – z₇)²/2 = 159 × 4 – 9 × 4²/2 = 564 кН × м;

Q₈^б = – V_В^б = – 159 кН,  М₈^б = 0.

Строим эпюры Q^б, М^б в соответствующей балке (рисунок 2, б, в).

Рисунок 2

2.2 Определение опорных реакций в арке

В опорах арки А и В возникают наклонные опорные реакции, которые можно разложить на четыре составляющие: вертикальные V_A и V_B, горизонтальные H_A и H_B (рисунок 3, а).

Вертикальные составляющие V_A и V_B равны опорным реакциям соответствующей балки

, .

Горизонтальные составляющие Н_A и Н_B равны между собой. Обозначим их Н (распор) и определим по формулам:

,  , где М_С^б – изгибающий момент в сечении С соответствующей балки.

Для рассматриваемой арки М_С^б = 1392 кН × м, Н = 1392/8 = 174 кН.

2.3 Построение эпюр внутренних усилий в арке

Внутренние усилия в k-ом сечении арки рассчитываем по формулам:

а) изгибающий момент ;

б) поперечная сила        ;

в) продольная сила       .

Расчет ведем в табличной форме (таблица 2). Величины z_k, y_k, sin j_k, cos j_k берем соответственно из граф 2, 3, 6, 7 таблицы 1, значения M_k^б, Q_k^б – из эпюр M ^б, Q ^б.

Примечание. Так как в сечении 2 приложена сосредоточенная внешняя сила, эпюра Q ^б, а значит, и эпюры Q, N имеют в этом сечении скачок. Значения ординат внутренних усилий в графах 9, 10, 12, 13, 15, соответствующие точке левее сечения 2, приведены над чертой, точке правее сечения 2 – под чертой.

По полученным ординатам М, Q, N строим эпюры (рисунок 3, б, в, г).

Рисунок 3

Таблица 2. Расчет внутренних усилий в арке