Расчет трёхшарнирной арки (пролет - 32 м, стрела подъема - 8 м)

Страницы работы

Содержание работы

РГР № 2.  Расчет трёхшарнирной арки

Исходные  данные

Расчетная  схема  арки  приведена  на  рисунке 1.  Пролет l = 32 м, стрела подъема f = 8 м, очертание оси – квадратная парабола , внешние нагрузки: q = 9 кН/м, P = 60 кН; размеры поперечного сечения: высота h = 1 м, ширина b = 0,25 м; материал арки – сосна; заданное сечение для построения линий влияния – 3.

Рисунок 1

1 Геометрические параметры оси арки

Положение k-го сечения (k = 0, …, 8) характеризуется тремя параметрами: абсциссой  ,  ординатой  , углом между касательной к оси арки и осью z jk .

Для вычисления jk продифференцируем функцию :

. Отсюда

Примечание. Если очертание оси – синусоида,  yk = ,

,  отсюда.

Принимая  p = 3,142, расчеты необходимо вести в радианах, если же удобнее работать в градусах, то p = 180°.

Рассчитанные параметры арки записываем в таблицу 1.

Таблица 1. Геометрические параметры оси арки

№ сечения

zk, м

yk, м

tg jk

jk, рад

sin jk

cos jk

1

2

3

4

5

6

7

0 (A)

0

0

1,00

0,785

0,707

0,707

1

4

3,5

0,75

0,644

0,600

0,800

2

8

6,0

0,50

0,464

0,447

0,894

3

12

7,5

0,25

0,245

0,243

0,970

4 (C)

16

8,0

0

0

0

1

5

20

7,5

–0,25

–0,245

–0,243

0,970

6

24

6,0

–0,50

–0,464

–0,447

0,894

7

28

3,5

–0,75

–0,644

–0,600

0,800

8 (B)

32

0

–1,00

–0,785

–0,707

0,707

2 Построение эпюр внутренних усилий от неподвижной нагрузки

2.1 Определение опорных реакций и построение эпюр внутренних усилий в соответствующей балке

Соответствующая рассматриваемой арке балка – это простая статически определимая балка, имеющая тот же пролет и схему нагружения (рисунок 2, а).

Опорные реакции балки VAб, VBб определяем из уравнений статики:

, , отсюда   ,

.

Проверка: .

Вычисляем внутренние поперечные силы Qkб и изгибающие моменты Мkб  в k-ом сечении балки (k = 0, …, 8):

Q0б = VAб = 189 кН, М0б = 0;

Q1б = VAбqz1 = 189 – 9 × 4 = 153 кН,

М1б = VAбz1qz12/2 = 189 × 4 – 9 × 42/2 = 684 кН × м;

Q2б лев  = VAбqz2 = 189 – 9 × 8 = 117 кН (левее силы Р),

Q2б прав = VAбqz2Р = 189 – 9 × 8 – 60 = 57 кН (правее силы Р),

М2б = VAбz2qz22/2 = 189 × 8 – 9 × 82/2 = 1224 кН × м;

Q3б = – VВб + q(l – z3) = – 159 + 9 × 20 = 21 кН,

М3б = VBб(l – z3) – q(lz3)2/2 = 159 × 20 – 9 × 202/2 = 1380 кН × м;

Q4б = – VВб + q(l – z4) = – 159 + 9 × 16 = – 15 кН,

М4б = VBб(l – z4) – q(lz4)2/2 = 159 × 16 – 9 × 162/2 = 1392 кН × м;

Q5б = – VВб + q(l – z5) = – 159 + 9 × 12 = – 51 кН,

М5б = VBб(l – z5) – q(lz5)2/2 = 159 × 12 – 9 × 122/2 = 1260 кН × м;

Q6б = – VВб + q(l – z6) = – 159 + 9 × 8 = – 87 кН,

М6б = VBб(l – z6) – q(lz6)2/2 = 159 × 8 – 9 × 82/2 = 984 кН × м;

Q7б = – VВб + q(l – z7) = – 159 + 9 × 4 = – 123 кН,

М7б = VBб(l – z7) – q(lz7)2/2 = 159 × 4 – 9 × 42/2 = 564 кН × м;

Q8б = – VВб = – 159 кНМ8б = 0.

Строим эпюры Qб, Мб в соответствующей балке (рисунок 2, б, в).

Рисунок 2

2.2 Определение опорных реакций в арке

В опорах арки А и В возникают наклонные опорные реакции, которые можно разложить на четыре составляющие: вертикальные VA и VB, горизонтальные HA и HB (рисунок 3, а).

Вертикальные составляющие VA и VB равны опорным реакциям соответствующей балки

, .

Горизонтальные составляющие НA и НB равны между собой. Обозначим их Н (распор) и определим по формулам:

, где МСб – изгибающий момент в сечении С соответствующей балки.

Для рассматриваемой арки МСб = 1392 кН × м, Н = 1392/8 = 174 кН.

2.3 Построение эпюр внутренних усилий в арке

Внутренние усилия в k-ом сечении арки рассчитываем по формулам:

а) изгибающий момент ;

б) поперечная сила        ;

в) продольная сила       .

Расчет ведем в табличной форме (таблица 2). Величины zk, yk, sin jk, cos jk берем соответственно из граф 2, 3, 6, 7 таблицы 1, значения Mkб, Qkб – из эпюр M б, Q б.

Примечание. Так как в сечении 2 приложена сосредоточенная внешняя сила, эпюра Q б, а значит, и эпюры Q, N имеют в этом сечении скачок. Значения ординат внутренних усилий в графах 9, 10, 12, 13, 15, соответствующие точке левее сечения 2, приведены над чертой, точке правее сечения 2 – под чертой.

По полученным ординатам М, Q, N строим эпюры (рисунок 3, б, в, г).

Рисунок 3


Таблица 2. Расчет внутренних усилий в арке

Похожие материалы

Информация о работе