Метод перемещений

М-11. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

11.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

-  рассмотрение понятия степени кинематической неопределимости;

-  получение формул для определения внутренних             усилий в произвольной плоской статически неопределимой раме;

-  рассмотрение  особенностей  определения  внутренних               усилий  с учетом симметрии плоской статически неопределимой рамы;

-  рассмотрение  особенностей  применения  метода  перемещений  к плоским  статически  неопределимым  рамам  с  ригелями  повышенной  из- гибной жесткости;

-  рассмотрение  особенностей  определения  внутренних               усилий  в плоских статически  неопределимых  несвободных  рамах при действии уз- ловой нагрузки.

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Расчет  плоских  статически  неопределимых  рам  методом  перемещений.

2. Использование свойств симметрии при расчете рам методом перемещений.

3. Особенности применения метода перемещений к рамам с ригелями повышенной изгибной жесткости.

4. Особенности определения внутренних   усилий в несвободных рамах при действии узловой нагрузки.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование следующей литературы: [1, c.391 – 448]; [3, c.265 – 302]; [4, c.365 – 378];

[5, c. 372 – 404].

11.1.Расчетплоских статически неопределимых рам методом перемещений

11.1.1.Суть метода и его допущения

Расчет  статически  неопределимой  рамы  методом  сил  начинается  с определения  ее  степени  статической  неопределимости,  которая  равняется числу лишних связей в системе, и нахождения основных неизвестных, ко-

торыми  являются  внутренние  усилия,  возникающие  в  этих  связях.  После этого легко определяются и остальные внутренние усилия.   Зная же внут- ренние усилия, можно найти перемещения в любом месте рамной системы.

Однако наряду с порядком расчета рамы, когда сначала определяются внутренние усилия, а затем находятся перемещения,               возможен и иной порядок определения этих величин. Если для некоторой рамной конструк- ции каким-либо образом найти ее узловые перемещения (линейные и угло- вые),  то  после  этого  нетрудно  будет  найти  и  все  внутренние  усилия  в стержнях системы. Такой порядок расчета стержневой системы   и состав- ляет  сущность  метода  перемещения.  Узловые  перемещения,  подлежащие первоочередному определению, являются основными неизвестными ме- тода перемещений, а их общее число и называется степенью кинемати- ческой неопределимости n. Сама же стержневая система считается кине- матически неопределимой.

При определении степени кинематической неопределимости в рамах вводятся два допущения. Во-первых, пренебрегают продольными и попе- речными деформациями стержней, поскольку при определении перемеще- ний в рамных системах, как правило, учитываются только деформации из- гиба. И, во-вторых, ввиду малости перемещений в линейно деформируе- мых  системах,  пренебрегают  сближением  концов  изгибаемых  стержней. Введение указанных допущений позволяет не учитывать при расчете вто- ростепенные  перемещения  и,  следовательно,  уменьшать  степень  кинема- тической неопределимости.

Рис. 11.1

Пример, приведенный на рис.11.1, показывает, что, с учетом принятых до- пущений, степень кинематической неопределимости рамы уменьшилась в два раза.

Степень  кинематической  неопределимости  произвольной  плоской рамы определяется по формуле

n = n1  + n2 ,

где

n1    -  число  неизвестных  угловых  перемещений  узлов  рамы,

n2 -  число

неизвестных  линейных  перемещений  узлов  рамы,  которое  характеризует степень линейной подвижности рамы.

Число неизвестных угловых перемещений

n1    равняется числу жест-

ких узлов рамы. Для определения степени линейной подвижности рамы  n2

во  все  жесткие  узлы  рамы  вводятся  шарниры.  Число  степеней  свободы, полученной шарнирно стержневой системы, совпадает со степенью линей- ной подвижности рамы. Следовательно, для рамы, показанной на рис.11.2,

n2  = 1.

Рис. 11.2

Рамы,  у  которых  могут  возникать  линейные  перемещения  узлов

только за счет изгибных деформаций ее стержней

n2  ¹ 0 , принято называть

свободными  рамами.  Рамы,  у  которых  такие  перемещения  отсутствуют

n2  = 0 , называются несвободными рамами.

11.1.2.Постановказадачи

Задана произвольная плоская статически и кинематически неопределимая рама (рис. 11.3)

Рис. 11.3

Степень кинематической неопределимости рамы характеризуется   величи-

нами

n, n1  ¹ 0,

n2  ¹ 0 , которые определяются в соответствии с неизвестны-

ми узловыми перемещениями

Z1 ,...,Zn .    Для рамы считаются известными

геометрические размеры расчетной схемы, геометрические характеристики