Случайные события, вероятность, теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса. Случайные величины. Свойства интегральной функции и плотности распределения вероятностей, страница 5

9. СП с равномерной в полосе частот СПМ. Белый шум. Случайная последовательность с независимыми сечениями (дискретный белый шум).

Спектральная плотность мощности такого процесса равна  при , и нулю при .  Среднее значение этого СП равно 0, так как СПМ не содержит дельта-функции на нулевой частоте. Дисперсия:

Взяв преобразование Фурье от , получим:

       Интервал корреляции:

Эффективная ширина спектра:

При τ = n/2f_в ковариационная функция равна нулю, т.е. отсчеты, взятые с равномерным шагом τ = 1/2f_в будут некоррелированными. Если СП гауссовский, то эти отсчеты будут статистически независимыми. Это будет гауссовская случайная последовательность с независимыми сечениями, которую можно назвать также дискретным белым шумом. Характеристики такого СП полностью определяются одномерной плотностью распределения вероятностей.

Белым шумом называется процесс с равномерной во всей полосе частот спектральной плотностью мощности. Белый шум характеризуется отсутствием корреляции между сколь угодно близко взятыми отсчетами, так как при  . Корреляционная функция белого шума равна

Адисперсиябесконечна

Белый шум в природе не существует. Он физически нереализуем, так как реальные процессы имеют конечную мощность, а мощность белого шума бесконечна. Однако эту модель удобно использовать, например, при анализе линейных радиотехнических систем, имеющих ограниченную полосу пропускания.

10. Математическое ожидание отклика линейной системы. Определение математического ожидания отклика интегрирующей RC-цепи при действии на ее входе стационарного СП. Дисперсия отклика линейной системы.

Пусть на вход некаузальной линейной системы действует ССП X(t), тогда математическое ожидание процесса на выходе

Математическое ожидание на выходе некаузальной линейной системы постоянно и равно произведению математического ожидания входного процесса на коэффициент передачи по постоянному воздействию.

Математическое ожидание процесса на выходе каузальной ЛС зависит от времени:

Т.е. процесс на выходе каузальной ЛС нестационарный.

Импульсная и комплексная частотная характеристики интегрирующей RC – цепи задаются следующими выражениями:

 

  где

Таким образом, математическое ожидание на выходе интегрирующей RC – цепочки:

В установившемся режиме (при ) .

Найдем центрированный СП Y(t):

Взяв математическое ожидание от квадрата , получим дисперсию выходного процесса:

Процесс на выходе ЛС нестационарный, т.к. дисперсия, а следовательно и ковариационная функция, зависят от времени, хотя входной СП – стационарный (в широком смысле).

Для каузальной линейной системы дисперсия выходного процесса в установившемся режиме:

Для некаузальной линейной системы:

11. Ковариационная функция и СПМ отклика линейной системы. Взаимные ковариационная функция и СПМ процессов на входе и выходе линейной системы.

Найдем центрированный СП Y(t):

Взяв математическое ожидание от произведения   и , получим ковариационную функцию выходного процесса:

Процесс на выходе ЛС нестационарный, т.к. ковариационная функция зависит от времени, хотя входной СП – стационарный (в широком смысле).

Для каузальной линейной системы ковариационная функция выходного процесса в установившемся режиме:

Для некаузальной линейной системы:

Взяв преобразование Фурье от ковариационной функции выходного процесса, находим выражение для спектральной плотности мощности:

Спектральная плотность мощности не зависит от фазочастотной характеристики системы.

Взаимная ковариационная функция процессов на входе и выходе системы:

Взяв прямое преобразование Фурье от обеих частей предыдущего равенства, получим:

Взаимная СПМ зависит как от фазочастотной, так и от амплитудно-частотной характеристики системы и в общем случае является комплекснозначной функцией частоты. 

12. Воздействие белого шума на линейную систему. Измерение импульсной характеристики линейной системы с помощью белого шума. Воздействие белого шума на интегрирующую RC-цепь.