Задачи кинематики и динамики. Основные понятия и определения струйчатой модели движения жидкости. Приборы для измерения скорости и расхода жидкости, страница 5

(3.24)

Интеграл - расход , проходящий через живое сечение. Через среднюю скорость расход .

Таким образом, можно записать:

(3.25)

Уравнение (3.25) для потока конечных размеров при установившемся движении жидкости является уравнением неразрывности.

Для разных сечений потока согласно (3.25) получим соотношение скоростей в живых сечениях:

(3.26)

3.7. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Выделим в потоке при установившемся движении идеальной жидкости, находящейся в поле сил тяжести, элементарную струйку (рис. 3.7). Рассмотрим часть струйки, заключенную между сечениями 1-1 и 2-2, и проведем горизонтальную плоскость 0-0, называемую плоскостью сравнения. Площадь первого живого сечения струйки , скорость струйки , давление , - высота расположения центра живого сечения над плоскостью сравнения 0-0.

Рис. 3.7. К выводу уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости

Во втором сечении площадь , скорость , давление , высота положения сечения .

Рассмотрим элементарное перемещение за малый промежуток времени объема струйки из положения 1-1 и 2-2 в положение 1'-1' и 2'-2'. Перемещение первого сечения - расстояние между положениями 1-1', второго - между 2-2'. Выразим перемещения через скорости в сечениях:

(3.27)

Используем для вывода уравнения Бернулли теорему о кинетической энергии. Для твердого тела она формулируется следующим образом: приращение кинетической энергии тела на любом пути его движения равно сумме работ, совершаемых на этом пути внешними силами, приложенными к телу.

Это допустимо применить к элементарной струйке, так как идеальная жидкость несжимаема, плотность жидкости .

Теорему кинетической энергии можно представить в виде следующего уравнения:

(3.28)

где - приращение кинетической энергии; - сумма работ внешних сил.

Силами, действующими на выделяемый объем жидкости, являются силы давления, приложенные нормально к живым сечениям участка струйки, и силы тяжести.

Силы гидродинамического давления, действующие нормально к поверхности участка струйки, нормальны линиям тока (оси движения). Работа этих сил при перемещении струйки равна нулю.

Силы гидростатического давления в сечениях 1-1 и 2-2 равны

и (3.29)

Направление силы прямо противоположно направлению перемещения, поэтому перед силой ставится знак минус.

Работа силы давления на перемещение сечения 1-1 на расстояние равна

(3.30)

Работа силы давления для второго сечения 2-2

(3.31)

Работа сил давления на рассматриваемый объем части струйки

(3.32)

Произведения и - объемы жидкости, проходящие через сечения 1-1 и 2-2. Умножив и разделив объемы на плотность жидкости, получим относительные элементарные массы, которые будут равны согласно уравнению неразрывности

(3.33)

Отсюда работа сил давления

(3.34)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выбранного участка струйки. Из потенциальной энергии объема жидкости, заключенного между сечениями 1-1 и 2-2, нужно вычесть энергию объема между сечениями 1'-1' и 2'-2'. Потенциальные энергии участков 1-2 и 1'-2'' составят:

(3.35)