Математика \ Вычислительная математика

Методика применения пакета Mathcad для решения научных и типовых общетехнических задач

Страницы работы

47 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Оглавление

	Введение……………………………………………………………………………………..	8
	Часть I. Ресурсы Mathcad для научных и инженерных расчетов……………………….	11
	Перечень условных обозначений………………………………………………………….	12
1	Знакомство с Mathcad………………………………………………………………………	14
1.1	Особенности пакета Mathcad………………………………………………………………	14
1.1.1	Системные требования. Ряд вычислительных характеристик Mathcad…………………	14
1.1.2	Некоторые недостатки пакета в инженерно-вычислительном смысле…………………	18
1.1.3	Нововведения в Mathcad 13 по сравнению с Mathcad 2001……………………………...	18
2	Вычисления по формулам………………………………………………………………….	21
2.1	Вычисления функций от нескольких переменных……………………………………….	26
2.2	Формирование Итоговой таблицы вычислений по формуле с несколькими аргументами………………………………………………………………………………………….	29
2.2.1	Ручной способ формирования Итоговой таблицы вычислений…………………………	30
2.2.2	Операторы программирования и логические операторы………………………………..	31
2.2.3	Программный способ формирования итоговой таблицы вычислений………………….	36
2.3	Вычисления функций для векторных аргументов………………………………………..	39
2.3.1	Вычисления функций для четырех векторных аргументов различной длины………..	40
2.3.2	Формирование Итоговой таблицы вычисления функций с векторными аргументами.	40
2.3.3	Вычисления функций с векторными аргументами одинаковой длины………………...	41
2.4	Вычисления функций для смешанных векторных аргументов………………………...	42
2.5	Вставка Итоговой таблицы вычислений функций в документ Word и ее форматирование средствами Word…………………………………………………………………….	42
2.6	Вычисления по формуле с комплексными числами……………………………………..	44
2.6.1	Операторы для обработки комплексных чисел…………………………………………..	44
2.6.2	Применение Mathcad при исследовании устойчивости систем автоматического управления по критерию Найквиста-Михайлова…………………………………………	44
2.7	Упражнения…………………………………………………………………………………	47
3	Двумерные графики функций……………………………………………………………..	49
3.1	Построение графиков………………………………………………………………………	49
3.2	Редактирование графиков………………………………………………………………….	50
3.3	Масштабирование участков графика	51
3.4	Вставка, дополнительное редактирование и наложение графиков Mathcad в документе Word………………………………………………………………………………………	52
3.4.1	Вставка графика в документ Word………………………………………………………...	52
3.4.2	Наложение графиков Mathcad друг на друга……………………………………………..	53
3.5	Упражнения…………………………………………………………………………………	53
4	Численное интегрирование и дифференцирование функций……………………………	55
4.1	Интегрирование и построение итоговой таблицы вычислений с параметрами……….	56
4.1.1	Простое интегрирование…………………………………………………………………...	57
4.1.2	Интегрирование с формированием Итоговой таблицы вычислений……………………	58
4.2	Интегрирование и построение итоговой таблицы вычислений с векторными параметрами………………………………………………………………………………………….	60
4.2.1	Интегрирование с полным перебором сочетаний значений компонент векторов параметров……………………………………………………………………………………..	60
4.2.2	Интегрирование с квазивекторизацией для векторных параметров…………………….	62
4.3	Вычисления кратных интегралов с параметрами………………………………………...	63
4.3.1	Двойной интеграл…………………………………………………………………………...	63
4.3.2	Тройной интеграл…………………………………………………………………………...	64
4.3.3	Пятикратный интеграл……………………………………………………………………..	65
4.4	Численное дифференцирование функций………………………………………………...	67
4.4.1	Принципы численного дифференцирования функций…………………………………..	67
4.4.2	Численное дифференцирование функций, зависящих от векторных аргументов и параметров……………………………………………………………………………………..	68
4.4.3	Программная реализация дифференцирования для четырех векторных аргументов и формирование итоговой таблицы вычислений…………………………………………...	70
4.5	Упражнения…………………………………………………………………………………	71
	Выборочные упражнения…………………………………………………………………..	71
	Системные упражнения…………………………………………………………………….	72
5	Решение уравнения с одним неизвестным………………………………………………..	73
5.1	Решение полиномиальных уравнений…………………………………………………….	75
5.1.1	Порядок решения полиномиального уравнения с числовыми коэффициентами………	75
5.1.2	Функциональная зависимость корней от параметра……………………………………	75
5.1.3	Исследование функциональной зависимости корней уравнения от нескольких параметров…………………………………………………………………………………..	77
5.1.4	Определение погрешности вычисления корней решателем polyroots(v)……………….	81
5.1.5	Уточнение вещественных корней, вычисленных решателем polyroots(v). Комплекс дихутчкор……………………………………………………………………………………	82
5.2	Решение трансцендентных уравнений……………………………………………………	84
5.2.1	Решатели уравнений………………………………………………………………………..	84
5.2.2	Вычисление корней трансцендентных уравнений………………………………………..	84
5.2.3	Отделение и вычисление вещественных корней в заданном диапазоне неизвестной переменной. Программный комплекс krd(n)……………………………………………...	85
5.2.4	Исследование зависимости вещественных корней уравнения от двух параметров. Комплекс krd2(n)……………………………………………………………………………	88
5.2.5	Исследование зависимости корней уравнения от двух параметров комплексами krd2р(n) и krd2рр(n) с отображением погрешностей и сочетаний параметров…………	92
5.2.6	Исследование зависимости вещественных корней уравнения от одного и трех параметров…………………………………………………………………………………..	94
5.2.7	Формирование библиотечных решателей трансцендентных уравнений и их применение………………………………………………………………………………….	96
5.3	Упражнения…………………………………………………………………………………	99
6	Решение систем алгебраических и трансцендентных уравнений……………………….	100
6.1	Системы линейных уравнений…………………………………………………………….	102
6.2	Индивидуальное решение систем алгебраических и трансцендентных уравнений. Формирование Итоговой таблицы исследования ………………………………………..	103
6.3	Методы сеансового решения систем нелинейных уравнений с использованием решателей given-find и given-minerr……………………………………………………….	108
6.3.1	Метод сеансового сканирования по начальным данным с решателем given-find и контролем решения по контурной карте для системы двух нелинейных уравнений….	109
6.3.1.1	Решение системы двух нелинейных уравнений. Ввод объектов Суперреша- теля…………………………………………………………………………………………..	110
6.3.1.2	Методика полного решения системы двух нелинейных уравнений методом сеансового сканирования по начальным данным………………………………………..............	113
6.3.1.3	Использование Контурной карты в процессе полного решения системы двух нелинейных уравнений………………………………………………………………………….	122
6.3.1.4	Корректировка структуры Суперрешателя для системы n нелинейных уравнений…...	125
6.4	Преобразование несовместной системы нелинейных уравнений в совместную систему с применением функции Minerr………………………………………………………..	127
6.5	Упражнения…………………………………………………………………………………	128
7	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши)……………….	129
7.1	Применение решателя given-odesolve(t, t_К, m)……………………………………………	129
7.1.1	Построение переходного процесса в системе автоматического управления при единичном скачке задающего воздействия…………………………………………………...	133
7.1.1.1	Преобразование нулевых начальных условий единичного скачка к начальным условиям постоянного единичного воздействия………………………………………...........	133
7.1.1.2	Пример построения переходного процесса……………………………………………….	134
7.2	Применение функции rkfixed(Z0, t0, t1, m, D)…………………………………………….	136
7.2.1	Решение дифференциального уравнения системы автоматического управления для единичного задающего воздействия с применением функции rkfixed…………………	136
7.2.2	Решение дифференциального уравнения «розы» с применением функции rkfixed…...	138
7.2.3	Исследование системы автоматического управления с периодической нелинейностью на границе устойчивости "в большом"……………………………………………...	138
7.3	Упражнения…………………………………………………………………………………	141
8	Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши)…….	142
8.1	Решение системы двух дифференциальных уравнений первого порядка решателем rkfixed………………………………………………………………………………………..	142
8.2	Решение линейной системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка решателем rkfixed…………………………………………………………………………...	142
8.3	Решение линейной системы шести дифференциальных уравнений надежности системы автоматического управления с нормированием вероятностей……………………	143
8.4	Упражнения…………………………………………………………………………………	145
9	Решение линейных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши) методом прямого и обратного преобразований Лапласа……………………………………...	146
9.1	Решение одного линейного дифференциального уравнения…………………………….	146
9.1.1	Определение L-изображения неизвестной функции х(t) дифференциального уравнения……………………………………………………………………………………………	146
9.1.2	Определение неизвестной функции х(t) по её L-изображению………………………….	151
9.2	Решение системы линейных дифференциальных уравнений……………………………	152
9.3	Упражнения…………………………………………………………………………………	154
10	Сплайн-интерполирование расчетных и экспериментальных данных…………………	155
10.1	Построение кубических сплайн-интерполяторов………………………………………...	155
10.2	Оценка точности интерполирования……………………………………………………..	156
10.3	Упражнения…………………………………………………………………………………	158
11	Вычисление максимума (минимума) скалярной функции. Структура оптимизатора целевой функции……………………………………………………………………………	159
11.1	Вычисление оптимума целевой функции…………………………………………………	159
	Структура векторного оптимизатора ……………………………………………………..	161
	Правила оптимизации функций в Mathcad………………………………………………..	162
11.2	Задача линейного программирования……………………………………………………..	163
11.3	Задача квадратичного программирования………………………………………………...	163
11.4	Упражнения…………………………………………………………………………………	165
12	Подготовка результатов расчетов в Mathcad к печати…………………………………...	166
12.1	Оформление документа Word с расчетами в Mathcad для печати………………………	166
12.1.1	Формирование таблицы с данными……………………………………………………….	166
12.1.2	Вставка итоговой таблицы вычислений в документ Word и ее форматирование……...	166
12.2	Редактирование документа Mathcad для печати…………………………………………	168
	Часть II. Индивидуальный лабораторный практикум по пакету Mathcad………………	171
13	Методика проведения лабораторных индивидуальных занятий………………………...	172
13.1	Дидактическая характеристика пособия…………………………………………………..	172
13.2	Организация лабораторных занятий………………………………………………………	176
	Распределение заданий учащимся…………………………………………………………	176
	Формирование дополнительных данных………………………………………………….	179
	Контроль выполнения заданий…………………………………………………………….	180
14	Цикл заданий по расчетам в Mathcad……………………………………………………...	183
	Задание 1. Вычисления по формулам. Построение графиков и их копирование в Word. Интегрирование и дифференцирование функций с параметрами……………….	183
	Задание 2. Исследование устойчивости САУ с использованием годографа Найквиста и Михайлова. Вставка таблицы Mathcad в Word. Решение и исследование полиномиальных уравнений………………………………………………………………………..	186
	Задание 3. Вычисление корней трансцендентных уравнений и оценки погрешностей. Применение графики……………………………………………………………………….	188
	Задание 4. Решение систем линейных и нелинейных уравнений. Зависимости решений нелинейных алгебраических систем уравнений от параметров…………………….	189
	Задание 5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (задача Коши). Переходные процессы в САУ и показатели качества. Решение систем дифференциальных уравнений надежности систем автоматического управления………...	192
	Задание 6. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем методом прямого и обратного преобразования Лапласа. Исследование САУ с периодической нелинейностью на границе устойчивости «в большом»…………………………………	194
	Задание 7. Формирование сплайн-интерполяторов расчетных и экспериментальных данных. Интерполированные границы устойчивости систем автоматического управления с периодической нелинейностью «в большом»…………………………………...	196
	Задание 8. Минимизация линейной, квадратичной целевых функций шести аргументов при типовых ограничениях………………………………………………………..	196
	Задание 9. Подготовка документов Word и Mathcad с расчетами для печати………...	199
15	Упражнения…………………………………………………………………………………	201
15.1	Вычисления по формулам………………………………………………………………….	201
15.1.1	Формулы плотностей распределения вероятностей……………………………………...	201
15.1.2	Исследование устойчивости систем автоматического управления по критерию Найквиста и Михайлова………………………………………………………………………….	208
15.2	Построение двумерных графиков функций по результатам вычислений, редактирование и измерения на графике……………………………………………………………..	209
15.3	Численное интегрирование и дифференцирование……………………………………....	209
15.4	Решение полиномиальных алгебраических уравнений…………………………………..	213
15.4.1	Решение полиномиальных уравнений шестого порядка…………………………………	213
15.4.2	Исследование решений полиномиальных уравнений четвертого порядка с двумя параметрами……………………………………………………………………………………	214
15.5	Решение трансцендентных уравнений и оценка погрешностей…………………………	215
15.6	Решение систем пяти линейных алгебраических уравнений……………………………	217
15.7	Определение корней системы двух нелинейных уравнений…………………………...	219
	Графическое решение для начального приближения…………………………………….	219
	Сеансовое сканирование по начальным данным…………………………………………	222
15.8	Решение дифференциальных уравнений………………………………………………….	226
15.8.1	Построение переходных процессов в системах автоматического управления с помощью процедур odesolve(…) и rkfixed(…)…………………………………………………	226
15.8.2	Решение систем дифференциальных уравнений ряда замечательных кривых с помощью процедур rkfixed(…)……………………………………………………………….	227
15.8.3	Решение систем дифференциальных уравнений надежности САУ с помощью процедур rkfixed(…)……………………………………………………………………………….	228
15.8.4	Исследование устойчивости «в большом» систем автоматического управления с периодической нелинейностью……………………………………………………………….	231
15.8.5	Решение линейных дифференциальных уравнений методами прямого и обратного преобразований Лапласа…………………………………………………………………...	232
15.8.6	Решение системы линейных дифференциальных уравнений методами прямого и обратного преобразований Лапласа………………………………………………………….	232
15.9	Интерполирование и аппроксимация расчетных данных……………………………….	232
15.9.1	Сплайн-интерполирование и аппроксимация границы устойчивости систем автоматического управления………………………………………………………………………	232
15.9.2	Интерполяция и аппроксимация значений пробных функций………………………….	232
15.10	Линейное и нелинейное программирование……………………………………………...	233
15.10.1	Линейное программирование……………………………………………………………...	233
15.10.2	Нелинейное (квадратичное) программирование………………………………………….	238
	Приложения…………………………………………………………………………………	243
	1. Перечень методов параметрических вычислений и программных комплексов на основе Mathcad……………………………………………………………………………..	243
	2. Клавиши ввода встроенных операторов Mathcad……………………………………...	245
	3. Периодические функции и характеристики фазового детектора систем автоматического управления…………………………………………………………………………	247
	4. Перечень сообщений об ошибках пользователя в Mathcad 13………………………..	250
	5. Журнал занятий по пакету Mathcad…………………………………………………….	268
	Глоссарий……………………………………………………………………………………	270
	Библиографический список………………………………………………………………..	274