Двойственность в линейном программировании, страница 3

На выпуск 1 т карамели «Снежинка» расходуется 0,8 т сахара, 0,2 т патоки и 0,01 т фруктового пюре. Если продать эти ресурсы, то можно выручить сумму (0,8у1 + 0,2у2 + 0,01у3). Если произвести 1 т этой карамели, то можно получить прибыль 108 руб. Чтобы осуществить продажу ресурсов, выручка от нее должна быть не меньше 108.

Аналогичные рассуждения можно провести для карамели «Яблочная», для которой построено второе ограничение двойственной задачи.

5.3 Первая теорема двойственности

Сопряженные задачи, построенные по рассмотренным выше правилам, обладают рядом свойств, наиболее важные из которых сформулированы в виде трех теорем двойственности. Здесь они будут рассмотрены без доказательства.

Теорема 1 (основная).

1). Сопряженные задачи разрешимы или неразрешимы одновременно, и если разрешимы, то их оптимумы равны.

2). Если целевая функция одной из задач не ограничена, то область допустимых планов другой задачи пуста.

Следствие: Для Х0ÎОДП(I), Y0Î ОДП(II)

Х0, Y0- оптимальные Û СX0 = Y0B

Т.е. допустимые планы сопряженных задач являются оптимальными тогда и только тогда, когда значения целевых функций этих задач на этих планах равны.

Замечания:

а) Утверждение, обратное второй части теоремы, не всегда является верным, т.е. если ОДП одной из сопряженных задач пуста, целевая функция другой не обязательно не ограничена. ОДП может быть пуста у обеих задач.

б) Логично предположить, что, поскольку сопряженные задачи могут быть разрешимы только одновременно, то, решив исходную задачу симплекс-методом, можно каким-то образом извлечь из этого решения оптимальный план двойственной задачи. Это действительно так.

Оптимальный план двойственной задачи находится в критериальной строке оптимальной симплексной таблицы для прямой задачи.

Если ограничение прямой задачи представляет собой неравенство, то при приведении ее к канонической форме в этом ограничении вводится дополнительная переменная. Каждому ограничению соответствует основная переменная двойственной задачи. Ее оптимальное значение находится в том столбце симплексной таблицы для прямой задачи, который соответствует ее дополнительной переменной. Определить значения двойственных переменных, которые соответствуют уравнениям прямой задачи, несколько сложнее, и подробно останавливаться на этом вопросе мы здесь не будем*.

Каждой неотрицательной основной переменной прямой задачи соответствует ограничение-неравенство двойственной задачи. При приведении двойственной задачи к канонической форме в каждое такое ограничение также вводится дополнительная переменная. Ее оптимальное значение находится в том столбце симплексной таблицы для прямой задачи, который соответствует ее основной переменной.

В качестве примера рассмотрим оптимальную симплексную таблицу (таблицу 13) для задачи, решенной в разделе 3.3. Задача, двойственная к ней, была построена в разделе 5.2. Если привести ее к канонической форме, она примет вид:

max 800у1 + 600у2 + 120у3

0,8у1 + 0,2у2 + 0,01у3 – у4 = 108

0,5у1 + 0,4у2 + 0,1у3 – у5 = 140

у1-5 ³ 0

Три неравенства прямой задачи были преобразованы в уравнения путем введения дополнительных переменных х3, х4 и х5. Этим трем ограничениям соответствуют основные переменные двойственной задачи у1,  у2 и у3. Следовательно, их оптимальные значения следует искать в трех последних столбцах таблицы 13: у1* = 125,33; у2* = 0; у3* = 773,33.

Двум основным переменным прямой задачи – х1 и х2 – соответствуют два неравенства двойственной задачи. Их преобразовали в уравнения путем введения дополнительных переменных у4 и у5. Следовательно, их оптимальные значения следует искать в двух первых столбцах таблицы 13: у4* = 0; у5* = 0.

Таким образом оптимальный план двойственной задачи Y* = (125,33; 0; 773,33; 0; 0).

5.4 Вторая теорема двойственности

Теорема 2 (о равновесии, о дополняющей нежесткости).

Для Х*ÎОДП(I), Y*Î ОДП(II)