Определение координат центра массы тела, объема, площади, линии
в интегральной форме
До этого было рассмотрено определение координат центра массы однородных тел, в которых удельный вес - это величина постоянная (). Теперь рассмотрим определение этих координат для неоднородного твердого тела.
Пусть есть неоднородное тело произвольной формы (рис.6). Разобьем его на элементарных элементов и выделим из них один k-й элемент. Обозначим его массу через . Пусть , и - координаты центра массы k-того элемента. Подставим в формулы координат центра массы тела (13) значения массы элемента , получим
, , . (26)
Точка приложения силы находится в середине элемента. Для точного нахождения точек приложения этих сил необходимо, чтобы объем каждого элемента n стремился к нулю, а число элементов неограниченно увеличивалось, то есть n∞. А поэтому необходимо, чтобы суммы выражений (26) рассматривались в пределах границ. А именно
, , , (27)
где Q - масса всего тела.
Как известно, границы пределов, которые есть в числителе выражений (27), не зависят от выбора точек приложения сил и представляют собой интегралы, которые распространены по всему объему тела, то есть
,
, (28)
.
Теперь, если подставить выражения (28) в (27), окончательно получаем координаты центра массы неоднородного тела в интегральной форме
, , . (29)
Для однородного тела можно определить координаты центра массы объема тела в интегральной форме. Если учесть, что
=, (30)
где – элемент объема тела,
а
Q=, (31)
где – объем тела,
то, подставляя (30) и (31) в (29) и сокращая на , получаем
, , . (32)
Из формул (32) следует, что положение центра массы однородного тела не зависит от физических особенностей его материала, а зависит только от геометрической формы и размеров тела.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.