Общая длина дуги АВ будет равна
. (42)
Подставим эти значения в первое уравнение (39). При этом интеграл, который находится в числителе данного выражения, должен быть определен по всей длине дуги.
Получаем
(43)
Таким образом, координата будет равна
. (44)
2. Центр массы треугольника
Имеем треугольник, вершины которого в принятой системе координат определяются точками с координатами и (рис.13).
Если провести достаточное количество прямых, которые параллельны основанию , то вся фигура треугольника будет разбита на полосы бесконечно малой ширины, центры масс которых будут лежать посередине каждой из полученных полос. И поэтому центр массы треугольника будет лежать на его медиане . Далее, если провести линии, параллельные другой стороне треугольника, то и в этом случае центр массы будет лежать на его второй медиане . Также можно построить в треугольнике и третью медиану. Таким образом, вполне вероятно, что центр массы треугольника С будет размещен в точке пересечения трех его медиан, при этом =; СД=.
Найдем координаты центра массы. Из аналитической геометрии известно, что точка пересечения медиан треугольника в принятой системе координат определяется такими зависимостями
(45)
где - координаты вершин треугольника.
3. Центр массы сектора
Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиусом R, центральный угол которого равен 2 радиан (рис.14). Центр массы сектора, вполне вероятно, лежит на оси его симметрии, то есть на биссектрисе угла АОВ. Эту биссектрису примем за ось и найдем на этой оси точку С. Разобьем площадь сектора на бесконечное число элементарных секторов с центральными углами . Будем рассматривать каждый сектор как угольник с основанием и высотой R. Центры массы каждого такого треугольника лежат на расстоянии от центра сектора. Таким образом, центры массы каждого треугольника расположены на дуге . Если стремится к нулю (), то достаточно найти центр массы дуги . Согласно формулы (44) центр массы дуги будет равен
. (46)
Тогда, считая, что , получим
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.