Математика \ Математический анализ

Функции, суперпозиция функций, обратная функция. Ограниченность и монотонность функций одного вещественного переменного. Единственность предела. Понятие приближенного значения корня уравнений. Метод половинного деления нахождения приближенного корня

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

1) Функции, суперпозиция функций, обратная функция.

Опр.1. Даны .Если каждому элементу поставить по некоторому правилу ставится в соответствие единственный эл-т , то говорят, что на мн-ве X задана функция со значением в мн-ве Y и обозначают .

Х – называется О.О.Ф. и называется значением функции на Эл-те Х и мн-во всех значений функции называется множеством значений функции и обознач. .

Опр.2. Пусть , . Функция назыв. суперпозицией функций и если выполнено и обозначается ,т.е. .

Опр.3.Дана функция . Если , то функция назыв. взаимнооднозначной.

Опр.4. Дана ф. . Пусть ф. взаимнооднозначная, тогда существует существует единственный из О.О.Ф., такой что . Обозначим .Таким образом, на множестве Х задается функция , которая называется обратной функцией .

Замеч.1.Обратные функции существуют только у взаимнооднозначных. Применяется следующая терминология:

1) если О.О.Ф. Х есть N, то функция называется последовательностью. - -член последовательности.

2) тогда называется функцией одного вещественного переменного.

2) Ограниченность и монотонность функций одного вещественного переменного.

Функция называется ограниченной, если множество значений этой функции – ограниченное мн-во или если сущ-ет М>0 такое, что

Опр. 6.

называется:

1) не убывающей(возрастающей) если

2) не возрастающей(убывающей) если

3) если ф. одна из 4 типов, то её наз-ют монотонной.

4) если возрастающая или убывающая, то строго монотонная.

Т1. Пусть строго монотонная, тогда у неё существует обратная и обратная – строго монотонная того же типа.

Док-во: докажем для возрастающей функции. Пусть . Если , то

. Значит ф. взаимнооднознач. (по опр.3) и у неё есть обратная (по опр.4). Докажем, что возрастающая.(от противного).

Пусть .

. Противоречие с тем, что . Значит возрастающая по опр.6.

Замеч.2. Обратная функция существует не только у строгомонотонных.

3) Окрестность точки, предельные изолированные точки, предел функции и последовательность.

Опр.1. Пусть . Множество ===

=- это окрестность точки .

= - проколотая окрестность точки .

Опр.2. Точка называется предельной точкой мн-ва Х если . Точка называется изолированной точкой мн-ва , если и сущ-ет такое что .

Опр.3. Дана ф. ,, - предельная точка Х. Число или точка В называется пределом функции f в точке или при если для любого существует такое, что из выполняется . Это обозначается: или .

Замеч.1.

Опр. 4. Число или точка b называется пределом последовательности если такое, что выполняется . Обозначается или

4) Единственность предела.

Если существует предел функции в т.а, то этот предел единственный.

Док-во: пусть пределов 2, т.е.

. по опр.3 пар.3 для этого сущ-ет такое что .По опр.3пар.3 для этого же сущ-ет такое, что

. Очевидно, что ,

. Тогда

-противоречие, значит b=c и предел – единственный.

5) Ограниченность функции имеющ. Предел. Теоремы о стабилизации знака и о определенном переходе в неравенство.

Т2 (об ограниченности функции имеющей предел) Если сущ. , то функция f ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Т3 (о стабилизации знака)Если ,тогда f(x)>0 в некоторой точка проколотой окрестности точки а.

Т4 (о предельном переходе к неравенству)

Пусть существует 2 предела

и пусть в некоторой проколотой окрестности точки а,

Зам.1.Если f(x)<g(x), то

____________________________________________

6) Теорема о пределе сжатой функции.

Пусть и пусть в некоторой проколотой окрестности точки ,

. Тогда .

Док-во: возьмём , по опр.3 пар.3 сущ-ет , такое что по опр.3 пар.3 для того же сущ-ет

по усл. сущ-ет , такая что

Возьмём, .

итак, т.к. мы брали произвольно, то сущ-ет , такое что выполняется нер-во, то по опр.3 пар.3 сущ-ет .

7) Предел суммы разности и частность

Т1 Пусть ,тогда

На практике

Доказательство (приведем для суммы):

Возьмем по опред.3 ( Дана функция , a-предельная точка множества X. Число или точка b называется пределом функции f в точке a, или при x стремящимся к а, если для , такое что выпол. ) дляпо опред.3(приведенному выше)

сущ-ет

По определению 3 мы придем ч.т.д.

Т3Пусть ;;

____________________________________________

8) Предел произведения

Лемма1 Пусть f-функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а. Пусть ,тогда

Доказательство:

ПоусловиюВозьмем по по оред.3 ( Дана функция , a-предельная точка множества X. Число или точка b называется пределом функции f в точке a, или при x стремящимся к а, если для , такое что выпол.)