Функции, суперпозиция функций, обратная функция. Ограниченность и монотонность функций одного вещественного переменного. Единственность предела. Понятие приближенного значения корня уравнений. Метод половинного деления нахождения приближенного корня, страница 2

____________________________________________

10)Предел и монотонность

Т1

1)Неубывающая, ограниченная сверху последовательность име6ет конечный предел

2)Невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел

Доказательство(случая1):

Т.к.(послед.) ограничена сверху, то по предложению 2 (Пусть множество Х ограничено сверху тогда для него сущ. Ед. точная верхняя граница. Пусть множество Х огр. Сущ., тогда для него сущ. И ед. точная нижняя граница. (без доказательства))докажем, что .Возьмем , т.к. А- верхняя граница, то

-не является верхней границей,

.Т.к.-наиб. То

Т.к.бралось произвольно, получаем:

11)Число е

Лемма 1(неравенство Бернулли)

Для любого и для любого

Теорема 2

Существует конечный предел

Доказательство:

для любого и значит, ограничено снизу.

Рассмотрим

-не возрастающая. По теореме 1 п.7 (неубывающая (невозрастающая) ограниченная сверху(снизу) последовательность имеет конечный предел) существует конечный предел ()

и значит существует конечный

Определение 1

Числом называется

Следствие 1.

12)Сравнение предельного поведения функции, операции с символами о,0,

Определение 1.

. - предельная точка

1)если ,то пишут при ()

2)если ,то пишут при ()

3)если ограничено в некоторой проколотой окрестности точки , то пишут при ()

Пример:

1) при

для любого при

3) при для любого

-ограниченная функция

Определение 2.

Если , то функция называется бесконечно малой при

Пусть и бесконечно малые при , при , то говорят, что - бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

Если при , то и называются эквивалентными бесконечно малыми при .

Замечание 1.

1) - бесконечно малая при ,

2) ограничено в некоторой проколотой окрестности точки и по опр. следует, что

Предложение 1.

Пусть , при . Тогда:

1) если , то

2) если , то

Док-во(1 пункт):

Замечание 2

2) предл.1 означает, что произв. и част. мы можем заменить функцией на функции, связанные с исх. значком . В сумме, разности и степени этого делать НЕЛЬЗЯ!

Предложение 2

1) Пусть

Тогда для любого ,

2) Пусть ,

при ()

Тогда при ()

4) при

при

Док-во:

1)при

2) (по лемме 1 пар. 5(пусть ограничена в некоторой прокол. окр-ти точки и пусть , тогда существует )при

3) при

4) при
__________________________________________

13)Предел в расширенном множестве веществ числе R(c чертой), понятие неопределенности.

Определение 3.

Пусть

: - предельная точка Х.-называется пределом в точке а или при

Тогда , для любого Определение 4Говорят, что если Говорят, что если

Замечание 1

Если или , то При этом, обратное не верно!Предложение 1

Пусть Тогда Замечание 2.Во множестве остаются справедливыми все теоремы об операциях с пределами если эти операции определены в . В противном случае говорят, что предел представляет собой неопределенность и указывают её тип.

14)Односторонние окрестности, предельные точки и пределы.

Определение 1.

Пусть

Множества и называются соответственно, левой и правой - окрестностями точки .

Очевидно, что

Определение 2.

Точка называется предельной слева (справа) точкой множества Х, если пересечение любой её левой (правой) - окрестности с Х не пусто.

Определение 3.

1. Пусть а - предельная слева точка Х. Число b называется пределом слева функции f в точке а, если для любого > 0, существует >0 такое, что для любого

Обозначение предела слева:

или

2. Пусть а - предельная справа точка Х. Число b называется пределом справа функции f в точке а, если для любого > 0, существует >0 такое, что для любого