Функции, суперпозиция функций, обратная функция. Ограниченность и монотонность функций одного вещественного переменного. Единственность предела. Понятие приближенного значения корня уравнений. Метод половинного деления нахождения приближенного корня, страница 5

значит f и g непрерывны в т. и т.к. по п.2 f и g дифференц. в каждой точке , то f и g непрерывнына всем (по пред. 2 пар. 12)

Пусть (в ост. случ. аналогично)

Возьмём и рассмотр. f и g на отр. . На нем f и g удовл. усл. т. 2 пар.15(Коши) и значит сущ-ет с,, что . По т.о пределе сжатой ф. (т. 5 пар. 4) при

Замеч.1.

1) - правило Лопиталя раскрытия неопределенности .

2) правило остается справедливым если ,

и наз-ся прав. Лопиталя раскр. неопред. .

3) также справедл. если

29)Вторая (дважды) дифф. функции.

Опр1-предельная точка Х, если, такие что , то функция f называется дважды дифф. в точке

Опр2 Пусть функция f дифф. в каждой точке окрестности, тогда в этой окрестности можно рассмотреть функцию f, если эта функция имеет произвольную в точке, то эта производная называется второй производной функции f  в точке  и обознач.либолибо , т.е. .

Т1 если,то f дважды дифф.ви справедлива ф-ла:

(Формула Тейлора второго порядка )

Док-во: Рассмотрим

30)Критерии монотонности функции.

Т1 f непрерывна на [a;b] и дифф. в каждой точке (a;b), тогда:

1)f не убывает на [a;b], тогда и только тогда, когда для любого х из (a;b)

2)f не возрастает на отрезке [a;b] тогда и только тогда,

3)если для любого,то f возрастает на отрезке [a;b] (обратное неверно)

4)если для ,то f убывает на отрезке [a;b]

Док-во:

1)ч1 Пусть f не убывает на [a;b]. Возьмемдля

Т.К. БРАЛОСЬ ПРОИЗВОЛЬНО, ТО

2)возьмём на отрезке  f удовл. условию теоремы Лагранжа. Сущ-ет ,т.к. и брались произвольно то f не убывает на отрезке [a;b]

Зам.1. для пунктов 3 и 4 обратное не верно.

31)Критические точки. Необходимые условия экстремума.

Опр.1.,. Т. называют критической точкой функции , если она предельная справа, но не слева для Х, или предельная слева, но не справа и , либо не существует. В частности, если , то критическая точка называется стационарной.

Т1.(необходимое усл. экстремума).. Если в т. функция достигает своего максимума, или наибольшего, или наименьшего значений, то -критическая точка функции.

Док-во: пусть -не критическая точка, тогда -предельная и справа и слева, в этой точке сущ-ет и эта производная не равна нулю. По усл. и след.1 пар. 14.ПРОТИВОРЕЧИЕ-критическая точка

32) Первое достаточное условие экстремума.

, пусть сущ-ет .

Пусть f дифференцируема в каждой точке и пусть f непрерывна в т. , тогда:

1)если , , то f достигает в т. max.

2) если,

, то f достигает в т. min.

3) либо , то f не достигает в т. экстремума.

Док-во: по предл. 2 пар.12 f – непрерывна во всей окрестности().Докажем 1:

по т. 1 пар. 18 f – возрастает на и убывает на , а потому для . По опр. 1 пар. 14 f достигает в т. - max.

33) Второе достаточное условие экстремума.

и пусть сущ-ет . Тогда:

1)если >0, то f достигает в т. минимума.

2) если <0, то f достигает в т.макс.

Док-во: (1 пункт).по ф-ле Тейлора 2го порядка.

=. Рассмотрим:

=

по т.3 пар. 4 сущ-ет , такое что , по опр. 1 пар.14 f достигает в т. минимум.

Зам1Если в усл.т.2 , то ничего сказать нельзя, требуется доп. исследование.

34)Выпуклость и вогнутость функции точки перегиба.

Опр1 Пусть функция f дифф. В точке, еслитакое, что для Выполняется то функция f называется выпуклой в точке

, то f вогнутая в точке .

Т1

1)тогда еслито f вогнута в точке

2)еслито f выпукла в точке

Док-во:

2пункта) ф.Тейлора 2-го порядка

Рассмотрим предел при

Пот3((о стабилизации знака)Если ,тогда f(x)>0 в некоторой точка проколотой  окрестности точки а.)

По опр1 f выпукла в точке  ч.т.д.

Опр2 (предельное и справа и слева) Пусть f дифф. В точке .Если сущ. , такое что

или наоборот тоназывается точкой перегиба функции f.

35)Асимптоты графика функции

Опр1 пустьпредельная точка множества X. Если хотя бы один из пределов