Математика \ Математический анализ

Функции, суперпозиция функций, обратная функция. Ограниченность и монотонность функций одного вещественного переменного. Единственность предела. Понятие приближенного значения корня уравнений. Метод половинного деления нахождения приближенного корня, страница 4

2) пусть сущ-ет . . по опр.2.( Если сущ-ет конечный предел , то он называется производной функции в т. и обозначается , т.е. )

(умножим обе части на )

По опр.1 дифференцируема в т.

Предложение 1. Пусть дифференцируема в т. .

Тогда . По опр.1

21) Касательная графику функций.

Опр.3. . Прямая , проходящая через точкуграфика функции f называется касательной графику функции f в т. , если .Из опр. 3 и 1 следует, что касательная в т. существует тогда и только тогда, когда f – дифференцируема в т. . Из теор. 1 следует, что Ур-е касательной имеет вид: . Пусть - угол наклона касательной к оси абсцисс, то из Ур-я касательной следует, что - геометрический смысл производной.

22)Дифференцируемость арифметический операций.

Т1

1)Для с f дифф. В точкеи производная

2) дифф. В точке и

3)дифф. В точке и

4)при f/g дифф. В точке и

Доказательство:

по теореме 1

23)Дифференцируемость . суперпозиции функции. Производные обратных тригонометрич. Функции.

Т2Пусть функция f дифф. В точке , а функция g дифф.в точке , тогда суперпозиция дифф. В точке и

Доказательство:

По усл.

по опр.1 пар.12, то справедл. ф-ла: ) , то

____________________________________________

24)Дифференцируемость обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Т3. Пусть имеет обратную . Пусть f диффер. в т. . Пусть непрерывна в . Тогда диффер. в т. и

Док-во:По усл.

Обозначим:,,

. Подставим

Перенесём в лев. часть и разделим на :

при

по т.1 пар12

Пример.Пусть f=

Тогда по Т3:=

Пишут: ,.

25.Экстремум функции . Теорема Ферма (14 параграф)

Опр.1.

Говорят, что ф-я достигает в точке :

1)max, если предельная точка Х и , такое что для

2)min, если - предельная т. Х и , такое что

3)экстремум, если достигает max или min

4) наибольшего значения, если

5) наименьшее значение, если

В первых трёх случаях точка называется точкой max, min, экстремума.

Теорема 1.(Ферма)

Пусть 1)предельная и слева и справа 2)такое что

3)тогда

Док-во.

Возьмём , тогда

(по теор.4парагр.3(о предельном переходе в неравенство) Пусть существует 2 передела Пусть в некоторой проколотой окрестности точки а, )

тогда .

Следствие 1.

Пусть ф-я f в точке предельная и слева и справа, достигает max или min или наибольшее или наименьшее значение и пусть существует тогда

26)Теорема Ролля

Т.1(Ролля) Пусть функция f непрерывна на отрезке и дифф. в каждой точке интервала (если она дифф. То она непрерывна) и пусть

Тогда

Док-во: по т1(Вейштрасса Пусть функция f непрерывна на[a;b], тогда f огранич. [a;b] и сущ. )

1случай: m=M, тогда f-постоянная функция.

2случай: m<M, тогда одна из точек лежит внутри отрезка (a;b) (т.к. если обе точки на концах, то m=M по усл.)Ту точку внутри отрезка обозначим С по след1(Пусть fв точкепредельной и слева и справа, достигает мах или min,или наиболь. или наимень. значения. Пусть)

Теорема доказана.

27)Теорема Коши и Лагранжа

Т2(Коши)Пусть функции f и g непрерывны на [a;b], и пусть f,g дифф. в каждой точке интервала (a;b). Пусть

Док-во:т.к. если g(a)=g(b) то по т.1(Пусть функция f непрерывна на отрезке АВ и дифф. В каждой точке интервала (если она дифф. То она непрерывна) и пусть

)сущ.,такое что, что противоречит условию. Введем функцию F(x)=f(x)-kg(x) F непрерывна на отрезке (a;b) как разность непрерывной функции. F дифф. в каждой точке отрезка (a;b) как разност дифф. функций. Подберем k так, чтобы F(a)=F(b)