Список экзаменационных вопросов и ответы на № 1-38 по курсу "Математический анализ" (Неопределенный интеграл. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Признак сходимости знакопеременного ряда)

удовлетворяют условию , то из сходимости  следует сходимость , а из расходимости  следует расходимость

2. Если существует предел (f(x)>0 и g(x)>0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Несобственный интеграл II-ого рода (от разрывной функции)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a;b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный придел  то его называют несобственным интегралом второго рода и записывают как: т.е. =

Если предел существует, то интеграл сходится, если не существует или бесконечен, то расходится.

Аналогично, если функция терпит разрыв в точке x=a, то полагают = Если же функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a;b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Признаки сходимости:

1. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию . Из сходимости  вытекает сходимость , а из расходимости  расходимость .

2. Пусть на промежутке [a;b) функция f(x) и g(x) непрерывны, при x=b терпят бесконечный разрыв. Если существует придел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

17. Интеграл с переменным верхним пределом.

Th.1 

Th.2 Теорема Барроу.

Замечание:

Следствие: всякая непрерывная f(x) имеет первообразную. Действительно, если f(x) непрерывна на [a,x], то существует, т.е. существует , которая по доказанному является первообразной.

Th.3 Формула Ньютона-Лейбница.

Если F(x) – первообразная f(x), то

 2 любые первообразные отличаются на константу.

, ч.т.д.

18. Определенный интеграл как предел суммы и его свойства.

Пусть функция определена на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок на n частичных отрезков [x₀;x₁],[x₁;x₂],…,[x_n-1;x_n].

m_i – наименьшее значение функции на i-том отрезке

M_i – наибольшее значение функции на i-том отрезке

m – наименьшее значение функции на [a,b]

M – наибольшее значение функции на [a,b]

Составим нижнюю интегральную сумму: , где  - длина i-того отрезка.

Составим верхнюю интегральную сумму

Свойства интегральных сумм:

1. 

2. 

3. 

4. 

Составим интегральную сумму

, 

являются частным случаем

Th.1 Ограниченность интегрируемой функции.

Допустим, что f(x) не ограничена на [a,b]. Покажем, что в этом случае S_n может быть сколь угодно большой.

Пусть неограниченность f(x) выполняется на

, что противоречит условию, ч.т.д.

Обратная теорема не верна.

Достаточное условие интегрируемости разрывных функций:

Th.1 Ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва на [a,b], интегрируема на [a,b]

Th.2 Ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва на [a,b], интегрируема на любом  

Следствие: рассмотрим  и пусть на [a,c]

Пределы интегрирования определенных интегралов:

Th. Свойство пределов интегрирования

Для

Доказательство:

1)  a<b<c смотри выше

2)  a<c<b

ч.т.д.

3)  с=а

А ещё можно выносить постоянный множитель за знак определенного интеграла, и интеграл суммы равен сумме интегралов.

Th.1 Грубая оценка определенного интеграла.

Th.2 Интегрирование неравенств

Th.3 Перенесение модуля опр. интеграла под модуль интегрируемой функции

 

Th.4 Оценка определенного интеграла на m и M

Th.5 Теорема о среднем.

19. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Th. 

Интегрирование по частям.

20. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка  такая, что

По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где

Применим теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим

Число называется средним значением функции на отрезке [a,b]

21. Площади плоских фигур. Длина дуги кривой.

1.1 Площадь фигуры в прямоугольных координатах.

для криволинейной трапеции, ограниченной f(x) и осью Ox

 для фигуры, ограниченной сверху f1(x),  а снизу f2(x)

 для функций в духе синуса.

1.2 Площадь фигуры, заданной параметрически

1.3 Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.

Сектор ограничен непрерывной линией и двумя лучами

2.1 Длина дуги в прямоугольных координатах

2.2 Длина дуги, заданной параметрически

2.3 Длина дуги в полярных координатах

22. Объемы тел

1.Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

1.1 Через произвольную точку  проведем плоскость, перпендикулярную Ох. Обозначим площадь сечения тела этой плоскостью S(x). Считаем ее известной и непрерывно изменяющейся. Через v(x) обозначим объем тела левее плоскости, на отрезке [a,x] он является функцией x.

1.2 найдем дифференциал dV функции v=v(x). Это элементарный слой, заключенный между плоскостями x и , то есть цилиндр площадью S(x) высотой dx,

1.3

2. Объем тела вращения.

Пусть вокруг Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная . Сечение этой фигуры – круг радиуса , следовательно

23. Приближенное значение определенного интеграла.

1. Метод прямоугольников.

(1)  и (1') – формула прямоугольников

2. Формула трапеций.

3. Формула парабол (формула Симпсона)

Лемма Площадь трапеции, ограниченной параболой   

24. Функции нескольких переменных: предел функции, непрерывность, частные производные.

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x,y). Соответствие f, которое каждой паре чисел  сопоставляет одно и только одно число , называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в , и записывается в виде  или

Предел функции.

Непрерывность.

 - непрерывна в  

1)  функция определена в самой точке и вблизи нее

2)  существует предел при   произвольным образом

3)  предел функции существует

функция, непрерывная в каждой точке области, непрерывна на всей области

Частные производная.

- частная производная первого порядка

- частная производная второго порядка

- смешанная ЧП второго порядка

Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Докажем для производных второго порядка.

Рассмотрим

25. Полный дифференциал функции.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке  можно представить в виде  , где  при . Первые два слагаемых – главная часть приращения функции. Главная часть приращения функции , линейная относительно , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом : . Частные дифференциалы для независимых переменных полагаются , поэтому

Th. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные, причем (обратное неверно)

Доказательство:

Т.к. функция дифференцируема в М, то , функция непрерывна в М. Положим , тогда

 при

Для функции n переменных  

26. Дифференцирование сложных функций.

Если  - дифференцируемая в точке  функция и  - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции  вычисляется по формуле .

Дадим независимой переменной t приращение , тогда получат приращения