Ответы на 36 экзаменационных билетов по дисциплине "Алгебра и геометрия", страница 9

Pn(x)/Qm(x)= A₁/(x-a)^k1 + A₂/(x-a)^k1-1 +…+ A_k1/(x-a) + B₁/(x-b)^k2 +…+ B_k2/(x-b)+        +(C₁x+D₁) / (x²+p₁x+q₁)^m1 +…+ (C_m1x+D_m1) / (x²+p₁x+q₁) , где k₁+k₂+2m₁=n

Билет N35

                                  Квадратные матрицы.

Рассмотрим некую систему уравнений.

 

             a₁₁  a₁₂ … a_1n                     x₁                     b₁

      A=     a₂₁  a₂₂ … a_2n           x=     x₂        B=    b₂

            …………….                 …              …

             a_n1 a_n2 … a_nn                 x_n               b_n

   Тогда данную систему можно переписать

    A*x=B

  A₁- правая обратная матрица для A

  A₂- левая обратная матрица, если A₂*A=E

    Если матрицы имеют правую и левую обратную матрицу, то эти матрицы совпадают

                  Умножение слева на A₂

        A*A₁=E A₂          A₂*A*A₁=A₂E

           EA₁=A₂E

           EA₁= A₂

              A₂ = A₁

  Пусть дана квадратная матрица A, A^-1 называется обратной по отношению к матрице A, если имеет место равенство.

                         A* A^-1 = A^-1*A=E

  Определитель матрицы отличен от нуля => есть обратная

Пусть даны 2 кв. матрицы одного и того же порядка, тогда имеет место равенство :

   │A*B│= │A││B│

  Ясно, что если матрица A имеет обратную А^-1, то определитель │A│не равен 0.

            Предложим потивное

             │A*A^-1│=│E(=1)│

           │A(=0)││A^-1│=1 абсурд, не может быть

       Покажем теперь, что если матрица A не выражена, то она имеет обратную матрицу.

Дана:  

             a₁₁  a₁₂ … a_1n                     

      A=     a₂₁  a₂₂ … a_2n                │A│ ≠ 0     

              …………….                            

             a_n1 a_n2 … a_nn                       

Рассмотрим матрицу

         A₁₁ / │A│    A₁₂ /│A│ … A_n1 /│A│ 

B=    A₁₂ / │A│    A₂₂ /│A│ … A_n2 /│A│  

        ……………………………………..

        A_1n / │A│    A_2n /│A│ … A_nn /│A│  

Произведение

               a₁₁  a₁₂ … a_1n                         A₁₁ / │A│    A₁₂ /│A│ … A_n1 /│A│ 

A*B=      a₂₁  a₂₂ … a_2n           *       A₁₂ / │A│    A₂₂ /│A│ … A_n2 /│A│    

                      …………….                  ……………………………………..

               a_n1 a_n2 … a_nn                  A_1n / │A│    A_2n /│A│ … A_nn /│A│    

              1 0 … 0

A*B=     0 1 … 0

              ………..

              0 0 … 1             

A это и означает, что матрица B является обратной по отношению к А, т.о. мы получили что для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A^-1, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была не вырожденной (│A│≠ 0) При этом обратная матрица

 

               A₁₁ / │A│    A₁₂ /│A│ … A_n1 /│A│ 

A^-1=       A₁₂ / │A│    A₂₂ /│A│ … A_n2 /│A│  

              ……………………………………..

              A_1n / │A│    A_2n /│A│ … A_nn /│A│  

Билет N36

                           Собственные числа и собственные вектора.

В дальнейшем матрицу- столбец будем называть вектором.

      Рассмотрим кв. матрицу A и вектор X размерностью n.

Произведение AX=Y, Y-вектор

Существует вектор X, что AX= λX

   Опр: Не нулевой вектор X, для которого выполняться равенство

 AX= λX называется собственным вектором матрицы A, а соответствующее ему число λ, называется собственным числом матрицы A.

       Покажем, что любая кв. матрица А имеет ровно n собственных чисел, с учетом их кратности.

    Пусть λ- собственное число, а X соответствующее ему собственный вектор матрицы A

        AX= λX

       AX- λX=0

       AX- λEX=0

       (A-λE)X=0

       Очевидно, последнее равенство(ур-ие) равносильно некоторой однородной системе линейных ур-ий. Т.к. эта система имеет не тривиальное решение (X≠0 ), то определитель данной системы должен равняться 0, т.е. для нахождения собственных чисел получаем уравнение :  │A-λE│=0

                         (a₁₁  -λ)   a₁₂         …      a_1n         т.к. каждая строка содержит λ, то данный             

     │A-λE│=        a₂₁          (a₂₂ –λ)  …      a_2n          определитель представляет- многочлен n-ой     

                         ……………………………      степени относительно λ, а тогда, как известно,                     

                         a_n1           a_n2        … (a_nn –λ)     этот многочлен имеет ровно n комплексных корней ( с учетом кратности).