Ответы на 36 экзаменационных билетов по дисциплине "Алгебра и геометрия", страница 5

          наименование тройки не меняется

    a (bс)= b (ca)= c (ab)=(a, b, c)

3 Выражение смешанного произведения через координаты :

  a= axi +ayj+ azk                                ax   ay  az 

   b= bxi +byj+ bzk              (a, b, c)=   bx   by  bz

  с= сxiyj+ сzk, то                           cx  cy   cz   

    Из того св-ва, что │(a, b, с)│- есть V параллелепипеда сразу следует то, что, для того чтобы три вектора a, b, c были компланарны, необходимо и достаточно, что бы их смешанное произведение= 0

                   Двойное векторное произведение.

  Пусть даны a, b и c. Двойным векторным произведением называется произведение        a(bс)- это вектор лежит в плоскости сиb

     Ясно, что вектор, определяемый двойным векторным произведением ┴ вектору bс

  Сам же вектор  bс ┴ (a, c) –плоскости. A потому очевидно, что данный вектор лежит в плоскости вектора bиa.

             a (bс)=          

      a= { ax ; ay; az}

        b= { bx ; by; bz }

     c=  { cx ; cy; cz }

  Найдем dx для этого, прежде всего найдем координаты вектора bc

                            bc =           i       j     k                      

                                                ax    ay    az          =  (bycz – cybz )i- (bzcx - cxby )j- (bxcy - cxby )k

                                                bx    by    bz     

 dx= ay (bxcy - cxby )- az (cxbz - bxcz )= bx (aycy + azcz )- cx (ayby + azbz )=прибавляя и вычитая справа axcxbx получим= bx (axcx + aycy + azcz)- cx (axbx + ayby + azbz)= bx (a c )- cx (a c) т.о.

                          dx= bx (a c )- cx (a c)

Аналогичным образом легко получить

                          dy= by (a c )- cy (a c)

                          dz= bz (a c )- cz (a c)

Т.о. вектор  a(bс)={bx (a c )- cx (a b)}i+ {by (a c )- cy (a b)}j+ {bz (a c )- cz (a b)}k= (bx i+ by j+ bz k)(a c)- (cx i+ cy j+ cz k)(a b)=b(a c)- c(a b)

T.о окончательно мы получим, что a(bс)= b(a c)- c(a b)

Билет N13

        Аналитическая геометрия пространства.

  Плоскость

Ясно, что любая плоскость в пространстве можно определить одним из 2 способов:

1) Точкой Mo(xo,yo,zo) вектором  n ={A,B,C} перпендикулярным данной плоскости,                             который мы будем называть нормалью плоскости.

2) Точками Mo(x,y,z), M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) не лежащими на одной прямой.

      Итак, пусть плоскость, определена точкой Mo и  n (1 способ)

Найдем уравнение данной плоскости

   Обозначим через M(x,y,z) произвольную точку плоскости, тогда очевидно, что MoMn (ортогональны), а тогда, как известно, скалярное произведение этих векторов=0, т.е. MoM*n=0

   Таким образом мы получили векторное уравнение плоскости.

  Переходя к координатам полученных векторов получим уравнение плоскости:

                      A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

                      Ax+By+Cz+D=0         (*)  

     Таким образом всякая плоскость имеет уравнение вида (*), т.е. каноническое- уравнение плоскости(=определяющее).

     Ясно, что коэффициент при x, y и z в каноничном уравнении плоскости дают координаты нормального вектора.

    Пусть теперь плоскость определена тремя не лежащими на одной прямой точками Mo(xo,yo,zo), M1(x1,y1,z1),  M2(x2,y2,z2)

                              Возьмем на этой плоскости M (x,y,z)

  Ясно, что вектора MoM2 MoM1 и MoM  компланарны, а, как известно, условие компланарности этих векторов:

                      MoM (MoM1MoM2 )=0

      Уравнение плоскости:   

Билет N 14

                 Взаиморасположение двух плоскостей

        Углом между двумя плоскостями называется линейный угол двугранного угла  = угол между нормалями.

              Острый угол

Пусть даны 2-е плоскости:

      A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)

      A2x+B2y+C2z+D2=0 (2)

   Угол между плоскостями 1 и 2 мы будем называть: острый угол между нормалями к этим плоскостям.

    

                          

      Отсюда легко получить условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

  Если плоскости параллельны, то n1 и n2 коллинеарные, т.е. n1= λ n2 или

                A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = λ

     A1/A2 = B1/B2 = C1/C2-условие параллельности

Условие перпендикулярности:

A1A2 + B1B2 + C1C2=0

Билет N 15

                                      Прямая в пространстве.

Ясно, что прямую в пространстве можно определить одним из 3-х способов: