Действия над многочленами
Pn(x), Qm(x) l≤max{m,n}
1) Pn(x)+Qm(x)=Sl(x)
2) Pn(x)*Qm(x)=Sm+n(x)
3) Pn(x)/Qm(x)=Sn-m(x)
Говорят, что Pn(x) делится на многочлен Qn(x) без остатка, если имеет место равенство Pn(x)=Qm(x)*Sn-m(x)
Говорят, что многочлен Pn(x) делится на Qn(x) с остатком, если Pn(x) представим в виде Pn(x)= Qm(x)*Sm-n(x)+R(x), где R(x)- некоторый многочлен, степени меньшей чем n.
Основная теорема Алгебры
Всякий многочлен Pn(x), n≥1 имеет по крайней мере один комплексный корень.
Кратный корень
Pn(x); Пусть x0 -корень этого многочлена. Говорят, что x0 является корнем многочлена Pn(x) кратности k, если имеет место равенство:
Pn(x)=(x- x0 )/ Qm-n(x) Таким образом Qm-n(x0 ) ≠ 0
Теорема Безу.
Для того, чтобы многочлен Pn(x) делился бы на x-x0 без остатка, необходимо и достаточно, чтобы x0 – был корнем данного многочлена.
Док-во:
Необходим Pn(x)/x0 без остатка, требуется док-ть, что x0 – корень.
Pn(x)=(x-x0)Qn-1(x), подставим x0 получаем Pn(x0)=0
Достаточно
x0 –корень
Pn(x)/(x-x0) – без остатка, предположим противоположное Pn(x)/(x-x0) =с –остаток т.е
Pn(x)=(x-x0) \Sn-1 +R (-нулевая степень остатка)
Подставляем в последнее равенство вместо x P(x0)=0+R т.к x0 – корень этого многочлена.
Т.к. Pn многочлен 0-ой степени, то R=0 => значение Pn(x)- делится на x-x0 без остатка.
Билет N33
Рациональные дроби.
Р.д- дробь вида Pn(x)/Qn(x), где pn(x) и- многочлены степени m или n соответственно Среди рациональных дробей выделяются правильные и неправильные дроби : Pn (x)/Qn(x)- правильная, если m>т (т.е. степень Qn(x) > степени Pn(x) ). В противном случае- дробь неправильная.
Существуют простые дроби :
1) A/(x-a) 2) A/(x-a)k 3) (Ax+B)/(x2+px+q) где p2-4q<0 4) (Ax+B)/(x2+px+q)k, p2-4q<0
Пусть
дана любая неправильная дробь Pn(x)/Qn(x),
тогда эту дробь можно представить в виде Pn(x)/Qn(x)=Sn-m(x)+Pe (x)/Qm(x)
Рассмотрим правильную дробь Pn(x)/Qm(x), пусть многочлен Qm(x) имеет вещественный корень а кратности k, тогда Qm(x)=(x-a)k Sm-k(x), где Sm-k(a) ≠0, тогда Pn(x)/Qm(x)=Pn(x)/(x-a)kSm-k(x)
Покажем, что правильная дробь Pn(x)/(x-a)kSm-k(x) может быть представленна в виде
суммы двух дробей : A/(x-a)k + Pe (x)/(x-a)k-1Sm-k(x) , где последняя дробь правильная
Действительно, очевидно имеет место тождество
Pn(x)/(x-a)k Sm-k(x)= A/(x-a)k + (Pn(x)-ASm-k(x))/ (x-a)k Sm-k(x) при любом A
Для того, чтобы в числителе последней дроби выделить сомножитель ( x-a ), нужно подобрать A т.о., чтобы числитель делился бы на ( x-a ) без остатка.
Как известно, по Th Безу для этого достаточно, чтобы а было корнем указанного многочлена.
Pn(a)-ASm-k(a)=0.
, т.к. Sm-k(a)≠0, то отсюда легко находим A=Pn(a)/ Sm-k(a).
При полученном A правильная дробь Pn(x)/(x-a)k Sm-k(x) представима в виде
A/(x-a)k + Pe (x)/(x-a)k-1Sm-k(x), где Pe (x)=(Pn(x)-A Sm-k(x))/(x-a)
Легко видеть, что
предпоследняя дробь- правильная => по только что доказанному она представима
в виде суммы: Pe(x)/(x-a)k-1 Sm-k(x)=B/(x-a)k-1 +Pe(x)/(x-a)k-2 Sm-k(x), где последняя дробь-
правильная, а она в свою очередь, может быть представлена в виде суммы.
И тогда окончательно мы получим, что правильная дробь
Pn(x)/(x-a)k Sm-k(x)=A1/(x-a)k + A2/(x-a)k-1 +…+ Ak/(x-a) + Pe(x)/ Sm-k(x), где последняя дробь- правильная.
Билет N 34
Пусть теперь дана правильная дробь Pn(x)/Qn(x) и пусть Qn(x) имеет комлексно сопряженные корни, каждый из которых имеет кратность k, т.е
Qm(x)=(x2+px+q)k Sm-2k(x) , p2-4q<0, тогда имеет место равенство
Pn(x)/Qn(x)=Pn(x) / (x2+px+q)k Sm-2k(x)=(Ax+B)/ (x2+px+q)k +
Pe(x) / (x2+px+q)k-1Sm-2k(x), где последняя дробь- правильная.
Таким образом, окончательно получаем, что любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.