Ясно, что OC=c=OA+OB, т.к. OA паралелен a и OB паралелен b, то существуют числа λ1,λ2 : OA= λ1a, OB= λ2b1, значит с=λ1a+ λ2b отсюда следует, что a, b и c линейно зависимы
Это означает, что множество векторов, лежащих в этой плоскости образуют линейное пространство с размерностью 2. В качестве базиса можно брать любых 2 непараллельных вектора.
a, b, c - компланарны, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях. Легко показать, что любые3 из комланарных – линейно независимы, а любые 4 – линейно зависимы. Следовательно множество всех векторов представляют линейное пространство размерности 3 и в качестве базиса можно брать любые 3 некомпланарных вектора.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и введем единичные вектора i, j, k, которые направлены по x, y, z соответственно │j│=│i│=│k│=1
Ясно,
что i, j, k не компланарны => будут базисом. Тогда любой a=α1i+α2j+ α3k Причем α1, α2, α3 –
координаты a в базисе i, j, k: a={
α1, α2, α3 }
Легко показать, что α1, α2, α3 –проекции a на x, y, z :
│a│=( α12 +α22 +α32 )1/2, j, i, k
cos α= α1/│a│- направляющие косинусы
cos β= α2/│a│
cos φ = α3/│a│
φ, α, β- углы составляемые a c осями x, y и z
Легко видеть, что Σсa2 =1 (cos2α + cos2β + cos2φ =1 )
Билет N 9
Пусть даны a,b
AB=a
A’B’-компонента a по b
Проекция a на b: (Прba) = │a│cos φ
Билет N 10
Скалярное произведение.
Скалярное произведение a на b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
a*b=(a,b)= │a││b│cosφ, φ-угол между a и b.
Св-ва :
1 a*b=b*a
2 α a*b=a* αb= α (a*b)
3 (a+b)c=a*c + b*c
a*b=│a││b│cosφ = Прba*│b│
(a +b)*c= Прс(a +b)* │c│=( Прсa+ Прсb)*│c│= Прсa*│c│+Прсb*│c│=a*c +b*c
4 Пусть даны a и b. Они ортогональны, если они перпендикулярны. Чтобы a и b были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы их произведение=0.
a*b =│a││b│cosφ=0
5 Выражение через координаты
Если a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то скалярное произведение этих векторов= сумме произведений одноименных координат.
Пусть a= axi +ayj+ azk
b= bxi +byj+ bzk
a*b= (axi +ayj+ azk) (bxi +byj+ bzk)= axbx(i*i)+ axby(i*j)+ axbz(i*k)+ aybx(j*i)+ ayby(j*j)+ aybz(j*k)+azbx(k*i)+ azby(k*j)+ azbz(k*k)= axbx+ ayby+ azbz
cos φ = (axbx+ ayby+ azbz )/ [( ax2 +ay2 +az2 ) ( bx2 +by2 +bz2 )] 1/2
Билет N 11
Векторное произведение.
Пусть даны a и b . Векторным произведением a
и b называется: a
b=[a; b]
1 длина которого= │a
b│=│a││b│sin φ
2 (a
b)
┴ a, b
3 если смотреть
с конца (ab) на плоскость
перемножаемых a и b,
то поворот a к b
на наименьший угол происходит против часовой стрелки :
Свойства :
1 ab=
- ba
2 [α a, b]=[a, α b]= α[a, b]
3 (a+ b)c=ac+ bc
4 Модуль векторного произведения a и b численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах
│a
b│=Sпарал.
5 Выражение векторного произведения через координаты выражения
a= axi +ayj+ azk
b= bxi +byj+ bzk
ab= (axi +ayj+ azk)(bxi
+byj+ bzk)= axbx(ii)+ axby(ij)+ axbz(ik)+ aybx(ji)+ ayby(jj)+ aybz(jk)+azbx(ki)+
azby(kj)+
azbz(kk)=
axbyk - axbzj
– aybxk+ aybzi+
azbxj – azbyi =
(aybz – azby)i + (azbx
– axbz)j +(axby – aybx)k
Легко показать, что ab= i j k
ax ay az
bx by bz
Билет N 12
Cмешанное произведение трех векторов.
Пусть даны a,b,c. Смешанным
произведением a, b
и c называется число a(bc)
Свойства :
1 Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах :
│a (bс)│=│a││bc│cos φ
Пусть даны 3 вектора a, b и c. Говорят, что a, b и с образуют правую тройку, если, смотря с конца вектора с на плоскость aиb, поворот от а к b на наименьший угол, осуществляется против часовой стрелки. В обратном случае – это левая тройка.
2 Если рассмотреть тройку векторов a, b, c, то легко видеть, что при круговой замене:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.