Кривые второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка

2.1.7. Кривые второго порядка на плоскости.

2.1.7.1. Кривыми второго порядка называют кривые, которые в декартовой системе координат на плоскости задаются уравнением второго порядка ах²  + by²  + cхy + dx + ey + f = 0 (а, b, c, d, e, f – известные действительные коэффициенты).

2.1.7.2. Эллипс. Пусть на плоскости даны две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 2с. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до фокусов постоянна и равна 2а (a > c). Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса.

Для того, чтобы получить уравнение эллипса, введем на плоскости прямоугольную систему координат. Начало координат совместим со серединой отрезка F₁F₂, ось Ох направим вдоль этого отрезка, ось Оу – перпендикулярно ему. Тогда фокусы имеют координаты F₁(-c, 0) и F₂(c, 0), и если M(x, y) – текущая точка эллипса, то расстояния от этой точки до фокусов равны длинам фокальных радиусов F₁M и F₂M: и . Определение эллипса запишется так: . Преобразуем это уравнение, чтобы избавиться от корней:  

   .

Введем еще один параметр эллипса соотношением . Тогда последнее уравнение запишется как , и после деления на правую часть окончательно получим

            .

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Исследуем это уравнение.

1.  Понятно, что .

2.  Так как в уравнение входят только четные степени х, у, то если точка (х, у) принадлежит эллипсу, т.е. х, у удовлетворяют уравнению, то точки (-х, у), (х, -у), (-х, -у) тоже принадлежат уравнению. Следовательно, оси Oх и Оу являются осями симметрии эллипса, точка О(0, 0) является центром симметрии.

3.  Рассмотрим часть эллипса, расположенную в первом квадранте (). Решив уравнение относительно у, получим . Если x = 0, то у = b; у убывает при возрастании х; если x = а, то  у = 0.

 На рисунке справа изображена кривая, имеющая эти свойства. Это и есть эллипс.

Число а называют большой полуосью эллипса, b – малой полуосью. Число  называется эксцентриситетом эллипса. Этот параметр характеризует «сплюснутость» эллипса. Если  (т.е. с = 0, b = а) фокусы эллипса совпадают с его центром, полуоси равны и эллипс превращается в окружность. Если  () эллипс вырождается в отрезок, соединяющий фокусы.