Кривые второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка, страница 6

2.1.8.3.1. Эллипсоид. Так называется поверхность, каноническое уравнение которой . В координатной плоскости z = 0 (т.е. в.плоскости Оху) след этой поверхности есть эллипс , в плоскости у = 0 получаем эллипс , в плоскости х = 0 - эллипс . Поверхность изображена на картинке справа. В случае, когда две полуоси эллипсоида равны, эллипсоид будет являться поверхностью вращения; так, если

а = с, то эллипсоид  может быть получен в результате вращения эллипса  вокруг оси Оу.

2.1.8.3.2. Конус. Так называется поверхность, каноническое уравнение которой . В плоскости z = 0 получаем ; единственная точка, удовлетворяющая этому уравнению – точка О(0, 0). В плоскости у = 0 получаем , это уравнение пары прямых . В плоскости х = 0 уравнение  даст пару прямых . В плоскостях z = z₀ получаем , или , это уравнения эллипса с полуосями (az₀/c) и (bz₀/c), линейно расширяющимися с ростом z₀. Поверхность изображена на картинке справа. Если а = b, поверхность будет конусом вращения.

2.1.8.3.3. Однополостный гиперболоид. Эта поверхность имеет каноническое уравнение . Уравнение пересечения этой поверхности с плоскостью z = 0  - эллипс  с полуосями a и b. В плоскостях

х = 0 и у = 0 получаем гиперболы  и  с мнимой осью Oz, в сечениях поверхности плоскостями z = z₀ получаем эллипсы , вершины которых находятся как раз на гиперболах в плоскостях х = 0 и

у = 0. Поверхность изображена на картинке справа.

            2.1.8.3.4. Двуполостный гиперболоид. Эта поверхность имеет каноническое уравнение . Так как , то . В плоскостях у = 0 и z = 0 получаем гиперболы с действительной осью Ох, сечение поверхности плоскостями х = х₀ (х₀ > a) дает эллипсы . Поверхность изображена на рисунке слева. В случае, когда действительной осью является ось Oz, поверхность имеет уравнение  (рисунок справа).

            2.1.8.3.5. Эллиптический параболоид. Эта поверхность задается каноническим уравненим . В плоскостях х = 0 и у = 0 получаются параболы  и , в сечении