Кривые второго порядка на плоскости. Поверхности второго порядка, страница 5

            Аналогично изложенному доказывается, что цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oу, определяется уравнением F(x, z) = 0; поверхность с образующими, параллельными оси Oх, определяется уравнением F(у, z) = 0.

2.1.8.2.1. Эллиптический цилиндр. Уравнение этой поверхности в случае, когда образующие параллельны оси Oz  .

2.1.8.2.2. Гиперболический цилиндр. Уравнение этой поверхности в случае, когда образующие параллельны оси Oу, а для направляющей действительной осью является Оу:  .

2.1.8.2.2. Параболический цилиндр. Уравнение y²= 2рz определяет параболический цилиндр с направляющей – параболой, лежащей в плоскости Oyz и образующей, параллельной оси Oх.

2.1.8.3. Поверхности вращения. Пусть в плоскости задана прямая l и кривая L. Рассмотрим поверхность, которая образуется в результате вращения L вокруг l (каждая точка M₀ кривой L движется по окружности, плоскость которой перпендикулярна l и радиус которой равен расстоянию от M₀ до l). Систему координат выберем так, чтобы прямая l совпадала с осью  Oz, а плоскость, в которой лежат l и L, была координатной плоскостью Oxz. Тогда кривая L определяется некоторым уравнением F(x, z) = 0. Радиус r окружности, по которой движется точка M₀(x₀, 0, z), равен расстоянию от этой точки до оси Oz, т.е. . Если точка х₀ удовлетворяет уравнению F(x₀, z) = 0, то любая точка окружности удовлетворяет уравнению F(, z) = 0, где знак выбирается в соответствии с sign x. Таким образом, уравнение поверхности вращения будет , где знак «+» берется, если поверхность порождается точками с положительной абсциссой; если поверхность порождается точками с отрицательной абсциссой, берется знак «-». Так, если мы вращаем вокруг оси Oz правую ветвь параболы

х² = 2рz, уравнение поверхности вращения будет , или х² + у²= 2рz; такое же уравнение получится, если вокруг оси Oz вращается левая ветвь этой параболы: ; эта поверхность называется параболоидом вращения. Если же поверхность получена в результате вращения вокруг оси Oz кривой , определенной при , то в ее уравнении мы должны заменить х на  , в результате получим , или , естественно, это поверхность уже не будет поверхностью второго порядка.

            2.1.8.4. Канонические уравнения и изображения поверхностей второго порядка. При изучении нижеследующих поверхностей второго порядка мы будем пользоваться приемом, который называется методом сечений. Он заключается в том, что для изображения поверхности мы рисуем кривые, которые получаются при пересечении поверхности с координатными плоскостями и, при необходимости, с плоскостями, параллельными координатным и соображаем, как идет поверхность между этими сечениями.