Общая постановка задачи оптимизации металлургических процессов

Общая постановка задачи оптимизации металлургических процессов

Методы оптимизации в СУ нашли широкое применение в сложных отраслях науки и техники, и в том числе в металлургической промышленности.

Эти методы стали основным инструментом при разработке и реализации новых процессов, а также при оптимальном проектировании действующих производств и оптимальном управлении ими.

Оптимизация – это целенаправленная деятельность, которая заключается в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Структура постановки задачи.

0 Исходная информация об объекте

I Выбор критерия оптимальности

II Выбор объекта (математической модели реального объекта)

III Выбор метода оптимизации на основе теории оптимизации

Теория оптимизации – совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов.

Необходимые условия для применения оптимизационных методов:

-  определение границ системы;

-  характеристический критерий (экономический и технологический);

-  независимые переменные;

-  модель системы.

Теория оптимизации находит эффективное применение во всех направлениях инженерной деятельности, и в первую очередь в следующих четырех ее областях:

-  проектирование систем и их основных частей;

-  планирование, анализ функционирования существующих систем;

-  инженерный анализ и обработка информации;

-  управление динамическими системами.

Характеристика методов оптимизации

Выбор метода определяется конкретной поставленной задачей оптимизации и должен приводить к конечным результатам с наименьшими затратами, а также давать возможность получить наибольший объем информации.

Оптимизационные методы можно разделить на задачи статической и динамической оптимизации (при известной математической модели объекта).

При неизвестной математической модели объекта пользуются прямыми методами.

Статическая оптимизация – это один из методов управления, который заключается в определении нового наилучшего режима, если необходимость в этом вызывается изменением внешних условий.

Такая оптимизация предполагает, что процесс находится в установившемся состоянии и может быть мгновенно переведен в новое состояние.

для непрерывных процессов процесс электролиза алюминия	t ® 0

В задачах статической оптимизации критерии, ограничения и переменная не являются функциями времени.

Цель задачи статической оптимизации формируется следующим образом: найти управления (x₁, ..., х_n), дающие экстремум (минимум) критерию оптимальности

G(x) = G(x1, ..., хn)

(1)

при ограничениях

hi(x1, ..., хn) £ 0, i = 1, ..., m1;	(2)
hi(x1, ...,хn) = 0, i = m1+1, ..., m;  m < n	(3)

x_j ³ 0;  j = 1, ..., n,

где ограничения (2) и (3) обычно являются математической моделью объекта управления.

Задача статической оптимизации называется задачей линейного программирования, если уравнения (1), (2) и (3) выражены в виде линейных соотношений (функций).

Задача статической оптимизации является задачей нелинейного программирования, если уравнения (1), (2) и (3) выражены в виде нелинейных соотношений (функций).

Статические методы оптимизации:

-  метод классического анализа;

-  метод множителей Лагранжа (теорема Куна-Таккера);

-  линейное программирование;

-  методы нелинейного программирования.

Динамическая оптимизация – это метод управления, при котором процесс не только поддерживается на оптимальном уровне, но и переход одного режима в другой осуществляется оптимальным образом.

Динамические методы оптимизации

-  вариационное исчисление (уравнение Эйлера);

-  принцип максимума Понтрягина;

-  динамическое программирование (уравнение Беллмана).

Метод классического анализа

Область использования: задачи с известным математическим выражением критерия оптимальности.

Метод позволяет найти решения для несложных аналитических выражений с точки зрения взятия производной. Основан на приравнивании нулю производных и нахождении выражения функции, которое является экстремальным.

В большинстве случаев необходимо решить систему нелинейных уравнений, для чего приходится использовать численные методы (аналогичные методам нелинейного программирования).

Обычно используется, когда число независимых переменных не превышает трех.

Метод множителей Лагранжа

Применяют для решения задач такого же класса сложности, как и предыдущие, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные.

Основная идея состоит в составлении вспомогательной функции, которая включает в себя критерий и ограничения.

Эта процедура называется – переход задачи с ограничениями к задаче без ограничений.

При введении ограничений в критерий возникают дополнительные неопределенные множители, которые нужно найти, и для этого требуется дополнительная информация.

Метод также применяется для решения задач оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач динамической оптимизации.