Стационарные задачи квантовой механики

                                                                                            Лекция 8

5. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

5.1.Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками

         Рассмотрим частицу, находящуюся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Будем считать, что частица может двигаться только в направлении оси ОХ.  Стенки ямы бесконечно высокие и представляют собой параллельные плоскости (рис.5.1). Такую прямоугольную яму называем ящиком. Она является упрощенной моделью атома водорода, в котором движется электрон.                                                        Потенциальная энергия частицы

 в ящике равна нулю, а за пределами

 ящика  . Уравнение  Шредингера                                                                                                   Шредингера для такой частицы имеет вид:            

 .

B ящике U=0, поэтому       .                                                     

Обозначим

                    .           (5.1) 

Тогда

             .                 

Это известное из теории колебаний уравнение синусоидальной волны,  причем k , определяемое уравнением (1) – волновое число. Решение этого уравнения имеет вид:

                                    .          (5.2)

При решении уравнения Шредингера должны выполняться граничные условия:

-  так как стенки ящика бесконечно высокие, то вероятность обнаружить частицу за пределами ящика равна нулю =0. Однако    - непрерывная функция, следовательно,  на границах ящика также должна обращаться  в ноль: ,  тогда      и   ; на правой границе ящика , поэтому           n=1, 2…. Отсюда    

                .                   (5.3)

     При  n=0        и     - вероятность обнаружить частицу хотя бы в какой-то точке пространства равна нулю, т.е. частица нигде не находится. Такого быть не может, поэтому значение п=0 лишено физического смысла..

    Условие (5.3) означает что волновое число k может принимать только некоторые разрешенные значения в зависимости от целого числа п , т.е. квантуется. Из условия (5.3) также следует, что по дну ящика должно укладываться целое число полуволн де Бройля, что совпадает с условием возникновения стоячих волн в струне.

Действительно, подставим     в уравнение  (5.3), имеем:

                        ;     и   .                                                                                                                                                                       

            Пусть частица летит к стенке ящика (рис.5.2). Справа от стенки происходит наложение двух волн де Бройля, соответствующих частице – прямой и отраженной, распространяющихся в противоположных направлениях. Стенка абсолютно отражающая, поэтому амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной волны, и в ящике образуется стоячая волна.