Предел функции в точке. Теорема о единственности предела и об ограниченности функции, имеющей предел. Бесконечно малые величины. Теорема о сумме. Предел функции в точке. Объем тела вращение и площадь поверхности тела вращения. Формула Грина

1.Предел функции в точке. Теорема о единственности предела и об ограниченности функции, имеющей предел.

Обозначение: - квантор всеобщности;  - квантор существования

[a,b] = {x: a≤x≤b}; (a,b) = {x: a<x<b}

U_б(х₀) = {x: |x- х₀|<б} “б”- окрестность точки х₀ ;U_б⁰(х₀) = {x: 0<|x- х₀|<б}

Определение: Пусть каждому xЄAcR поставлено в соответствие одно значение уЄВcR, тогда говорят, что задана функция f:A→B, y=f(x)

Функция наз. многозначной, если в соответствие более одного значения.

Пусть  f:A→B и g:B→C (A,BcR и СcR)

Определение: число А называется пределом функции у=f(x) при х стремящемуся к х₀ если E>0 и б>0 : х  0<|x- х₀|<б  => | f(x)-A|<E

Неопределенности :

Теорема о пределах.  Теорема (о единственности предела)

Если у функции существует предел в точке то он единственный.

Док-во :Пусть предел                   и                    где А≠В

Рассмотрим: |A-B|=|A-f(x)+f(x)-B|<|A-f(x)|+|f(x)-B|

Имеем  E>0 б₁>0 : х  0<|x- х₀|< б₁=>|f(x)-A|<Е/2

E>0 б₂>0 : х  0<|x- х₀|< б₂=>|f(x)-B|<Е/2

выбираем б₀=min{ б_1, б₂}тогда х  0<|x- х₀|< б₀ => |A-B|<|f(x)-A|+|f(x)-B|<E/2+E/2 = E

E – сколь угодно малое => A=B

Определение: f(x) называют ограниченной на интервале (a,b), если  M>0, что f(x) ограниченна в данной окрестности.

Теорема об ограниченности функции имеющей предел.

Док-во­­: E>0 б(E)>0 : х  0<|x- х₀|< б =>|f(x)-A|<E =>|f(x)-A|>|f(x)|-A

|f(x)|-A<E ------------|f(x)|<A+E=M

2.Бесконечно малые величины(б.м). теорема о сумме, разности б.м величин и о произведение б.м на ограниченную.

Определение (бесконечно малого): Функция f(x) называется бесконечно малой при

x→ х₀ если

Теорема:

                      ó(тогда и только тогда) f(x)=A+α(x) – б.м. при x→ х₀ необходимое и достаточное условие)

Док-во:   “=>” необходимость

E>0 б(E)>0 : х  0<|x- х₀|< б =>|f(x)-A|<E обозначим f(x)-A=α(x) то | α(x)|<E                |α(x)-0|<E =>                    => α(x)- б.м.

“<=” достаточность

α(x) – б.м =>E>0 б(E)>0 : х  0<|x- х₀|< б =>|f(x)-A|<E.  Но α(x)=f(x)- A

тогда при тех же условиях |f(x)-A|<E  =>

свойство б.м. функций.

Теорема: сумма, разность б.м. есть величина б.малая

док-во: пусть α(x) и β(x) б.м. при x→ х₀.Рассмотрим |α(x)±β(x)|< |α(x)|+|β(x)|

для фиксиров Е>0 имеем б₁>0 : х  0<|x- х₀|< б₁=>| α(x)|<Е/2

б₂>0 : х  0<|x- х₀|< б₂=>|α(x)|<Е/2----------б₀=min{ б_1, б₂} тогда хЄU_б⁰(х₀)

|α(x)±β(x)|< |α(x)|+|β(x)| <Е/2+Е/2=E => α(x)±β(x) – б.м. при x→ х₀

Теорема: Произведение б.м. величины на ограниченную есть б.м.величина

Док-во: α(x)-б.м. при x→ х₀ ------f(x) – ограниченная в некоторой окр-ти

по заданному Е>0 в U_б(х₀) выполн. |α(x)|<     и М>0, f(x)<М

тогда |α(x)|f(x) = |α(x)| |f(x)|<       *M=E. Замечание: производ б.м. есть величина б.м.

3.Предел функции в точке. Теорема о порядковых свойствах предела.

U_б(х₀) = {x: |x- х₀|<б} “б”- окрестность точки х₀ ;U_б⁰(х₀) = {x: 0<|x- х₀|<б}

Определение: Пусть каждому xЄAcR поставлено в соответствие одно значение уЄВcR, тогда говорят, что задана функция f:A→B, y=f(x)

Определение: число А называется пределом функции у=f(x) при х стремящемуся к х₀ если E>0 и б>0 : х  0<|x- х₀|<б  => | f(x)-A|<E

Теорема (зажатой переменной)

Пусть функции f(x)  g(x) и р(x) определены в некоторой окрестности в точке х₀  U_б⁰(х₀) и хЄU_б⁰(х₀) выполняется f(x)≤h(x) ≤g(x) и

Тогда

Док-во:

Имеем для E>0 -----б₁>0 : х  0<|x- х₀|< б₁=>|f(x)-A|<Е=>f(x)>A-E

б₂>0 : х  0<|x- х₀|< б₂=>|g(x)-A|<Е =>g(x)>A+E

Тогда выбираем б₀=min{ б_1, б₂}имеем: х :  0<|x- х₀|< б₀=>A-E<f(x)≤h(x)≤g(x)<A+E

A-E<h(x)<A+E_________-E<h(x)-A<E => |h(x)-A|<E

Теорема (о единственности предела): Если у функции существует предел в точке то он единственный.

Док-во: Пусть предел                           и                            где А≠В

Рассмотрим: |A-B|=|A-f(x)+f(x)-B|<|A-f(x)|+|f(x)-B|

Имеем  E>0 б₁>0 : х  0<|x- х₀|< б₁=>|f(x)-A|<Е/2

E>0 б₂>0 : х  0<|x- х₀|< б₂=>|f(x)-B|<Е/2

выбираем б₀=min{ б_1, б₂}тогда х  0<|x- х₀|< б₀ => |A-B|<|f(x)-A|+|f(x)-B|<E/2+E/2 = E

E – сколь угодно малое => A=B

т. Пусть                                  Тогда f(x)>0 в некотор окр-ти т. А₀

Док-во

E>0 б(E)>0 : х  0<|x- х₀|< б =>|f(x)-A|<E  А-Е<f(x)

Выберем Е=     ---   

4.Предел функции в точке. Теорема об алгебраических св-ах предела.

U_б(х₀) = {x: |x- х₀|<б} “б”- окрестность точки х₀ ;U_б⁰(х₀) = {x: 0<|x- х₀|<б}

Определение: Пусть каждому xЄAcR поставлено в соответствие одно значение уЄВcR, тогда говорят, что задана функция f:A→B, y=f(x)

Определение: число А называется пределом функции у=f(x) при х стремящемуся к х₀ если E>0 и б>0 : х  0<|x- х₀|<б  => | f(x)-A|<E

Алгебраические св-ва пределов

Теорема: пусть                         и

Тогда

А)

В)

С)                      B≠0

Док-во: имеем f(x)=A+α(x) и g(x)=B+β(x), α(x), β(x)- б.м. при x→ х₀

Нужно док-ть: А) f(x)±g(x)=A±B+γ(x), Б) f(x) * g(x) = AB+γ₂(x)

c)                 

A) f(x)±g(x) = (A+α(x))±(B+β(x)) = A±B+(α(x)±β(x))